第一讲：整除与整数的性质.doc

《第一讲：整除与整数的性质.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第一讲整除与整数的性质【知识点金】一．整数的基本性质1.整数集关于加、减、乘运算的封闭性，即整数的和、差、积仍为整数（两个整数的商不一定是整数）。2.奇数和偶数的简单性质能被2整除的整数称为偶数，可表示为形式；不能被2整除的整数称之为奇数，可表示为形式。对于奇数和偶数有以下性质：（1）任意多个偶数的和、差、积仍为偶数；（2）奇数个奇数的和、差仍为奇数；（3）偶数个奇数的和、差为偶数；（4）奇数与偶数的和为奇数，其积为偶数；（5）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；3.整数集的离散性两个连续整数之

2、间不再有其他整数，两个连续整数的完全平方数之间不存在完全平方数。任一个整数有限集中必有最大数和最小数。二．整除的定义和基本性质1．定义：设、是整数，若存在整数，，使，则称整除，或能被整除，记为，这时叫做的因数或约数，叫做的倍数。2.整除的基本性质（1）若，则，，，；（2）若，，则；（3）若，且，，则，，，。12事实上可推广到一般情形：若，且，则；（4）设，且，则对于任何，都有；反之，若，则。（5）若，且，则；（6）若、互素，且，则；（7）若是素数，且，则至少有一个，使得；（8）若两两互素，且，，则；例1.求证：如果和都是大于3的素数，那么6是的因数。例2.求

3、证：是正奇数时，能被60整除。（9）个连续整数的乘积一定能被整除；（10）为素数，对任意正整数，都有，此性质称之为费尔马小定理。它的一个推论是：若为素数，且不能整除，则。例1.求证：（为任意整数）。123．一些数整除的判定方法设是自然数，在十进制中的位数可表示为，即，其中称为数码，它们都是整数，且，而。（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则；（5）若，则；提示：。（6）若，则；（9）若，则；（10）若，则。例1.由数码0，1，2，3，4，5，6能组成若干没有重复数字的七位数，其中有55的倍数，试在55的倍数的七位数中求出最大的和最小的数。三．

4、带余除法如果、是两个整数，，那么一定有且只有两个整数、，使得成立。因此，当且仅当时，；当时，称为被除的商，称为被除的余数。由此可得如下结论：12（1）若有两个整数除以所得的余数相同，则它们的差能被整除。（2）个连续整数中有且仅有一个是的倍数。（3）设是整数，则在任意个整数中，至少有两个整数，它们被除的余数相同。四．算术基本定理定理：若不计素因数的次序，则每一个大于1的整数都可以唯一分解成素因数乘积的形式，即，其中均为素数，为自然数。从的素因数分解式中，我们又可以得到如下结论：的约数个数为；例.的正整数解的组数为（）A．3组B．9组C．27组D．45组【赛点直

5、击】整数的性质及整数性质的应用是数学竞赛中的热点问题之一，有关这方面的问题总可归纳如下：1．平方数问题如判定一个式子是整数的完全平方，或证明一个式子是完全平方式，或证明一个根式是整数等。例1.已知四个正整数中，被9除余1，被9除余3，被9除余5，被9除余7，则一定不是完全平方数的两个数是（）A．，B．，C．，D．，例2.求证：若正整数、使得，则是完全平方数。12例3.某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列。如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列。问原长方形队列有多少名同学？2．整

6、除问题判断或证一个整数（式）能整除另一个整数（式）。例1.对任意给定的自然数，若为正整数的立方，其中为正整数，则（）A．这样的有无数多个B．这样的存在，但只有有限个C．这样的存在且唯一D．这样的不存在例2.设、是正整数，，，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商为120，则，，或，。例3.求证：，，，…，（个1个2）都是两个相邻的整数的积。12例4.求所有能使为正整数的正整数。【闯关策略】与整数有关的问题（或可转化为整数问题）能否解决或解法是否简洁与选用整数的适当表示方法有关，处理这类问题常用奇偶性分析与反证法得出矛盾。构造方法、分解方法也是解决这类问题的基

7、本方法。利用换元法转化问题的形式，是解决这一类问题的重要手段。把除数作质因数分解，然后，分别证明被除数可被其每一个质因数的最高次幂整除，这是证明整除问题的一般方法。1．奇偶分析法通过奇偶性的分析得出矛盾等将问题求解。例1.若正整数与都是平方数，则。例2.（2005年上海交通大学自主招生试题）若的三个根分别为、、，并且、、是不全为零的有理数，求、、。122．反证法例1.（2009年北京大学自主招生试题）是否存在实数，使得、都是有理数？例2.（2009年清华大学自主招生试题）当、都是奇数时，方程是否有有理数根？试证明之。3．构造法例1．设是集合的非空子集，中任何

8、两个数之和不能被7整除，试求（集合的元素个数）的最大