第一讲 整数与整除的基本性质（一）

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1、第一讲整数与整除的基本性质（一）一、整数基本知识：关于自然数：1、有最小的自然数1；2、自然数的个数是无限的，不存在最大的自然数；3、两个自然数的和与积仍是自然数；4、两个自然数的差与商不一定是自然数。关于整数：1整数的个数是无限的，既没有最小的整数，也没有最大的整数；2、两个整数的和、差、积仍是整数，两个整数的商不一定是整数。十进制整数的表示方法正整数可以用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中的一个或若干个组成一个排列表示，如67表示,四位数1254可以写成,同样地用字母表示的两位数,三位数,n位整数表示为，（其中ai是0，

2、1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某个数字，i=n,n–1,…,2,1,其中an）并且经典例题：例1、用0、1、2、...、9这10个数字组成两个三位数和一个四位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能地小，那么这两个三位数及这个四位数的和是（）1995168315791401解：为使和最小，四位数的千位应该是1，百位上的数为0，两个三位数上的百位应分别为2和3；若三个数十位上的数分别是4、5、6，则个位上的数分别是7、8、9，但7+8+9=18是个偶数，这与其和为奇数矛盾，故应调整为三个十位上的数应安排为4、5、7，

3、个位分别为6、8、9，6+8+9为奇数，1046+258+379=1683，选例2、一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去，仍得原数，这个两位数是（）26283638解：设这个两位数为，由题意，得，即由于为偶数，必须为偶数，排除又由于是7的倍数，故选（此题也可以直接来解是7的倍数，故有返回有）例3、一个两位数，加上2以后和的各数字之和只有原数字和的一半，这个两位数是。（91年“缙云杯”初中数学邀请赛）解：设这个两位数为，由于原数加上2后和的各数字之和比原数各数之和小，所以加上2后发生了进位，由题意，得，，又由于后有进位，同时

4、对应的分别为6与5，这两个数为68或59。例4、一个四位数与它的四个数字之和等于1991，这个四位数是。（91年南昌市初中数学竞赛题）解：四个数位上的数字之和最多不会超过36，这个四位数的千位和百位数字分别是1和9，故设这个四位数为，，整理得，又且为整数，这个四位数为1972。例5、若三位数与组成该三位数的各位数字之和的比值为（如三位数234，则），求的最大值和最小值。解：设这个三位数，，显然，当其值为0时，即时，最大，其值为，当最大时，最小，即时，最小为二、能被一个数整除的数的特征基础知识：1、能被2或5整除的数，它的末位数字能被2或5

5、整除2、能被4或25整除的数，它的最后两位数能被4或25整除。3、能被8或125整除的数，它的最后三位数能被8或125整除。4、能被3或9整除的数，它的各数位上的数字之和能被3或9整除。5、能被11整除的数，它的奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差是11的倍数。6、0能被任何非零整数整数，能整除任何整数。要判断某数能否被一个合数整除，只须将这个合数分解成两个互质的约数的乘积，若这个整数能分别被这两个约数整除，则这个数能被这个合数整除。经典例题：例6、能被11整除的最小九位数是多少？解：若某数可被11整除，则其奇数位数字之和与偶数位数字之

6、和的差位11的倍数，要这样的数最小，首先取1，十位取1，其余数位取0，即所求数为100000010。例7、一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得的三位数恰是4的倍数，求这样的四位数中最大的一个。解：要求这样的四位数中最大的一个，因而设这个四位数为，要使为4的倍数，且要最大，故。要能被9整除，能被9整除，故例8、两个三位的和能被37整除，证明：六位数也能被37整除。（第八届“祖冲之杯”数学邀请赛试题）证明：，又而，例9、已知一个七位自然数是99的倍数（其中是0到9中的某个数字），试求的值，简写出求解过程。（第八届“希望杯”全国数学邀请赛初

7、一试题）题难：分析是99的倍数，而99，故分别是9和11的倍数由被9，11数整除的数的特点而解此题。解：，是9的倍数，即（为自然数），。，或或，即故是11的倍数又，即同奇偶，或（不合题意，舍去）备选题：类：1、设六位数是4的倍数，且它被11除的余数是5，求a+b的值.（六位数是4的倍数，有，故或6；又它被11除的余数是5易得1）、当，，是11的倍数，故2）、当，11，是11的倍数，无解。）2、如果个六位数能被33整除，这样的六位数共有多少个？（易得，及，及易得解或或故有3组，分别为192192、195195、198198。3、求一个四位数

8、，它等于抹去它的首位数字后剩下的三位数的3倍减去42。（整理得得代入得）4、是数0到9的数字，，（“缙云杯”初中数学邀请赛试题）5、一个五位数能被3整除，它的最末两位数字组成的数能被6整除，求