第一讲 整数的整除性1

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1、第一讲整数的整除性一、整除的概念·带余除法我们知道两个整数的和、差、积仍然是整数，但是用一不等于零的整数去除另一个整数所得的商却不一定是整数，因此我们引入整除的概念：定义1设a，b是整数，b¹0，如果存在整数q，使得a=bq成立，则称b整除a（或a能被b整除），记作a½b。此时，称a是b的倍数，b是a的约数（或因数）。如果上述q不存在，我们就说b不整除a或a不能被b整除，记作。显然每个非零整数a都有约数±1，±a，称这四个数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。下面我们来讨论关于整除的基本性质.定理1（传递性）如果a，b和c是整数，且a½

2、b，b½c，则a

3、c.证明因为a½b，b½c，所以存在整数e和f，使得b=ae，c=bf.因此c=bf=(ae)f=a(ef),从而得到a

4、c.例如，11

5、66而66

6、198，由上述定理可知11

7、198.定理2如果a,b,c,m,n为整数且c½a,c½b,则c½（ma+nb）证明因为c½a，c½b，所以存在整数e和f，使得a=ce，b=cf.因此ma+nb=m(ce)+n(cf)=c(me+nf),从而得到c½（ma+nb）定理3如果a

8、b,c

9、d,则ac

10、bd.下面的定理是关于整除性的一个重要结论.定理4（带余除法）如果a、b是整数且b≠0，则

11、存在唯一的整数q和r，使得a=bq+r,().证明(存在性)(i)当b>0时，作整数序列…，-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b,…若a与上面序列中的某一项相等，则a=bq，即a=bq+r,r=0.若a与上面序列中的任一项都不相等，则a必在此序列的某相邻两项之间，即有确定的整数q，使bq

12、b

13、，则(q¢¢-q¢)b=r¢-r¢¢，因0£

14、r¢,r¢¢<

15、b

16、，所以

17、r¢-r¢¢

18、<

19、b

20、，从而

21、(q¢¢-q¢)b

22、=

23、q¢¢-q¢

24、

25、b

26、<

27、b

28、,即

29、q¢¢-q¢

30、<1,故

31、q¢¢-q¢

32、=0即q¢¢=q¢从而r¢=r¢¢。■在带余除法给出的公式中，我们称q是a被b除的商，r是a被b除的余数，同时称a为被除数，b为除数.显然，b

33、a的充要条件是r=0.例1若n>1,(n-1)

34、(n+11),求n..例2证明：设(这里表示由十个数字组成的十进制的自然数)，则3（或9）整除整数A充分必要条件是3（或9）整除。例3若n是整数，k是正整数，则的值是整数.例3告诉我们：k个连续整数的积一定

35、能被k!整除例4已知n是正整数，求证：当时，能被5整除。（匈牙利1901数学竞赛题）带余除法的例题没有二、整数的奇偶性定义2能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数.奇数与偶数有下列性质：性质1两个偶数之和为偶数,两个奇数之和为偶数,一个偶数与一个奇数之和为奇数.推论任意几个偶数之和还是偶数,正偶数个奇数之和为偶数,正奇数个奇数之和为奇数.性质2任意几个奇数之积是奇数,任意一个整数与偶数的积是偶数.性质3设a为整数，n为正整数，则与a奇偶性相同.例57个茶杯，杯口全朝上，每次同时翻转4个茶杯称为一次运动。可否经若干次运动，使杯口全朝下

36、？例6设a,b为整数，c为奇数.若存在奇数m,使为奇数,则方程无奇数根.例题解答？习题1增加带余除法练习题。1.如果a和b是非零整数，且a

37、b，b

38、a,你能得到什么结论？2.证明：如果a和b是正整数且a

39、b，则.3.是否有整数a,b和c,使得a

40、bc，但是?4.求带余除法中的商和余数：（1）被除数为100，除数为17，（2）被除数为-100，除数为17。（3）被除数为289，除数为1，（4）被除数为100，除数为-17，（5）若整数a被正整数b除的带余除式是,则-a被b除时，带余除法给出的商和余数分别是多少？5.设n>4,且（n-4）

41、（3n+2

42、4）,求n.。6.若n是奇数，则8½n2-1。7.设整数，证明：（1）2（或5）整除A的充分必要条件是2（或5）整除；（2）4（或25）整除A的充分必要条件是4（或25）整除；（3）8（或125）整除A的充分必要条件是8（或125）整除；（4）11

43、A的充分必要条件是.8.若，求.1.若，求.2.若m+n+23是偶数，是判定（m-1）（n-1）+2003是奇数还是偶数.3.若整系数二次三项式当时的值均为奇数，求证：方程没有整数根.4.三个相邻偶数之积是四位数，且其末位数是8，求这三个偶数.5.设a，b，x，y是整数，k和m是正整数，并且a=a1m

44、+r1，0£r1