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2、膄膈薀肄肀膈蚃袇羆芇螅蚀芅芆蒅袅膁芅薇蚈膇芄蝿羃肃芃葿螆罿节薁羂芇节蚄螅膃芁螆羀聿莀蒆螃羅荿薈羈袁莈蚀螁芀莇蒀肇膆莆薂衿肂莆蚅肅羈莅螇袈芆莄蒆蚁膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄袀蒀薃蚇艿蒀蚅羃膅葿螈螅肁蒈蒇羁羇蒇薀螄芆薆蚂罿膂薅螄螂肈薄蒄羇肃膁蚆螀罿膀蝿肆芈腿蒈衿膄膈薀肄肀膈蚃袇羆芇螅蚀芅芆蒅袅膁芅薇蚈膇整数的整除性 整数的整除性问题，是数论中的最基本问题，也是国内外数学竞赛中最常出现的内容之一．由于整数性质的论证是具体、严格、富有技巧，它既容易使学生接受，又是培养学生逻辑思维和推理能力的一个有效课题，因此，了解一些整数的性质和整除性问题的
3、解法是很有必要的．整除的基本概念与性质30除以6得到的商是5，我们就叫30能被6整除，31除以6得到的商不是整数，31就不能被6整除。一般地， 所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下． 定义设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作b｜a．如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作ba． 关于整数的整除，有如下一些基本性质： 性质1若b｜a，c｜b，则c｜a． 性质2若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)． 性质3若c｜a
4、，cb，则c(a±b)． 性质4若b｜a，d｜c，则bd｜ac． 性质5若a=b＋c，且m｜a，m｜b，则m｜c． 性质6若b｜a，c｜a，则[b，c]｜a(此处[b，c]为b，c的最小公倍数)．特别地，当(b，c)=1时，bc｜a(此处(b，c)为b，c的最大公约数)． 性质7若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b． 性质8若a≠b，n是自然数，则(a-b)｜(an-bn)． 性质9若a≠-b，n是正偶数，则(a＋b)｜(an-bn)．性质10若a≠-b，n是正奇数，则(
5、a＋b)｜(an＋bn)．常见数的整除特征 给出一个整数A，要求判断这个数能否被某个非零整数m整除，这是在整除问题中常常需要解决的问题。因此，就要研究数 能被某些非零整数整除的特征。 ⑴能被2,4,5,8整除的数的特征 显然易见,当A的个位数能被2整除时,A能被2整除;反之,若A能被2整除,则能被2整除,即 （结论1） 同样有（结论2） （结论3） （结论4）前两个结论比较明显,对于结论3作如下证明。 由100能被4整除，所以，于是当时，；反之，当时， 结论4的正确性请同学们类似地证明。 ⑵能被3,9整除
6、的数的特征 如果A的各位数之和能被3(或9)整除,那么A也能被3(或9)整除;返过来,如果A能被3(或9)整除,那么A的各位数字之和也能被3(或9)整除。 下面以四位数为例，对于多位数只要进行类似的推理就可以了。 设，则 显然，能被3（也能被9）整除。若能被3（或9）整除，则A能被3（或9）整除；反之，若A能被3（或9）整除，则能被3（或9）整除。 ⑶能被11整除的数的特征仍以四位数为例.对于多位数可类推. 显然,能被11整除，于是若，则；反之，若，则。 ⑷能被7（11，13）整除的数的统一特征。
7、若A的末三位与A去掉末三位尾数后数之差是7（或11，13）的倍数，则A能被7（或11，13）整除。 ⑸连续整数的乘积的整除性。 对于两个连续整数n和n+1，其中必有一个偶数，因此乘积能被2整除。 对于三个连续整数n,n+1,和n+2，其中必有一个偶数，也必有一个能被3整除，因而乘积能被整除。 一般地可以推导，k个连续整数的乘积能被整除。 说明1·2·3…k，可称作k的“阶乘”，记作k！ 2．证明整除的基本方法证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法．下面举例说明．例1
8、、N=是一个被17整除的四位数，求x。 解 因,17
9、（122+6x） 所以 而x为0～9的整数,故只有当x=2时,才有可能。 故x=2为所求。例2、（1987年北京初二数学竞赛题）x，y，z均为整数，
