比例(等积)式的证明方法.doc

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1、比例（等积式）证明的常用方法比例（等积式）的证明是初中几何非常常见的题型，同时也是令许多学生感到困难的题型，特别是在图形复杂，线段较多的题目中，往往令人眼花瞭乱无从下手。为此专门举例归纳如下：常用方法一：相似（三点定形）法例1如图：在Rt△ABC中，°于D，E为AC的中点，ED的延长线交CB的延长线于点P，求证：.分析：证即，证明：分母中的线段PB、PD可确定△PBD，分子中的线段PD、PC可确定△PCD.首先考虑证明∽△PCD.常用方法二：找相等的量（比、线段、等积式）替换例2如图：已知梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于点O，B

2、E∥AD交AC的延长线于点E，求证：分析：要证即证明：但OA、OC、OE在同一直线上，上述方法不行，但易得，用中间比替换.例3已知：等腰△ABC中，于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F，求证：.分析：在中，线段BE、证明：EF、EG在一条直线上，上述方法不行，但可以找相等的线段来替换，转化为证，即证△CEF∽△GEC。例4如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上取一点P，连结AP，垂足为G，交CE于D，求证：.分析：中，CE、PE、证明：DE在同一直线上，无法直接用“三点定形法”，并且也找不到相等的比、线段来

3、替换，但可以先证：，从而转化为证.注：当要证明的比例式中的线段在同一条直线上时，可以用相等的比、相等的线段、相等的等积式来替换相应的量，把看似无路可走的题目盘活，从而达到“车到山前疑无路，柳暗花明又一村”的效果.常用方法三：利用相似三角形的性质例5如图，Rt△ABC中，°，于点D，的平分线AE交CD于点F，交CB于点E.求证：.分析：中AF、AE在一条直线上，证明：而且没有相等的量（比、线段、等积式）可替换，但AF、AE分别是△ACD和△ABC的内角平分线，CD、CB也是△ACD和△ABC的边，所以只要证明△ACD∽△ABC即可.注：相似

4、三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，我们可以利用这些性质来证明有关的等积式往往会起到事半功倍的效果！常用方法四：添加平行线法（1）添加三角形内的平行线段：即过端点或内分点做平行线，利用“平行于三角形的一边，并且和其他两边或其延长线相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例”的性质证明。如果出现一组（或两组）相比线段重叠在一条直线上时，可考虑添加三角形内的平行线。例1：如图，已知AD是的外角平分线，AD与BC的延长线交于D。求证：BD:CD=AB:AC(1)(2)(3)例2：如图，点D在⊿ABC的

5、AC边上，E在CB边的延长线上，AD=BE。求证:.(2)添加三角形外的平行线：即过端点作平行线利用“平行于三角形的一边，并且和其他两边或其延长线相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例”的性质证明。例4：如图，已知在⊿ABC中，AD平分，求证：.例6：已知中，AD为中线，E、F分别在AB、AC上，且AE=AF,EF交AD于G，求证：.(1)(2)(3)