谈谈等积式的证明

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1、▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌初中平面几何中，比例式或等积式的证明问题是一种常见的问题。因为这种问题变化多端，同学们常常感到困难。但是，一旦我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。一、遇到等积式（或比例式）时，先看能否找到相似三角形。等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母如有三个不重复的字母，就可找出相似三角形。例1：已知：如图1，中，，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。求证：分析：我们将此等积式变形改写为比例式得：，由等式左边得到，

2、由等式右边得到，这样只要证明这两个三角形相似就可以得到要证的等积式了。二、若由求证的等积式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或等比代换或等积代换。例2：已知：如图2，平行四边ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F。求证：AD·AB=AF·CE分析：将等积式改写成比例式得：▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌，但AD、AF在中，CE、AB不在同一个三角形中，考虑到平行四边形A

3、BCD中，AB=CD，可证～。证明：在平行四边形ABCD中～（等线段代换）即：AD·AB=AF·CE例3：已知：如图3，B是圆的弦，DE切圆O于C，于D，于E，于F。求证：分析：等积式中的四条线段没有分布在两个三角形中，也无相等的线段进行代换，故考虑能否使用等比代换，需找两套相似，得到两组比例式。证明：连结AC、BC（构造弦切角定理条件）DE切圆O于C又～同理可证（等比代换）▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉

4、▊▋▌在这时用到了等比代换。在有些题目中还可能用到等积代换.例4：已知：如图4，AB是圆O直径，CD切圆O于B，AC交圆O于E，AD交圆O于F。求证：AE·AC=AF·AD分析：若边结EF可看出AE、AF在中，AC、AD在中，但无条件可以证明这两个三角形相似，故考虑其它方法。利用直径上的圆周角是直角及切线性质，可得到两套相似，从而可考虑等积代换。证明：连结BE、BFAB是圆O直径，CD是切线中，～同理可证（等积代换）证毕希望同学们在做这类题目时，注意研究它们的这些规律▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\~~~

5、照亮人生▃▄▅▆▇██■▓