等积式证明的常用方法

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1、等积式证明的常用方法等积式的证明是初中几何非常常见的题型，同时也是令许多学生头疼的一种题型，特别是在一些图形复杂，线段较多的题目中，往往令人眼花瞭乱无从下手。等积式的证明有没有技巧呢？其实只要我们冷静分析，我们将会发现许多等积式的证明也是有规律可循的。常用方法一：三点定形法例1如图：在Rt△ABC中，°于D，E为AC的中点，ED的延长线交CB的延长线于点P，求证：.分析：先把转化为比例式，在比例式左边线段PD、PB的端点分别为点P、D、B，由点P、D、B可确定△PBD，同理由比例式右边的线段PC、P

2、D的端点P、C、D可确定△PCD.所以要证明等积式，只需要证明比例式，要证明，由三点定形法只需要证明△∽△PCD即可.证明：°°又AC的中线，°又°°°又△∽△PCD注：三点定形法证明等积式的一般步骤：1．先把等积式转化为比例式；2．观察比例式的线段确定可能相似的两个三角形；3．再找这两个三角形相似所需的条件.常用方法二：找相等的量（比、线段、等积式）替换例2如图：已知梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于点O，BE∥AD交AC的延长线于点E，求证：分析：要证明，只需要证明即可，但OA、OC、O

3、E在一条直线上，不能直接用三点定形法来证明，但可以用中间比。由题意可知：，从而可证.证明：∵BE∥AD又∵AB∥CD例3已知：等腰△ABC中，于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F，求证：.分析：在中，线段BE、EF、EG在一条直线上，但可以找相等的线段来替换，由等腰三角形性质可知，AD为BC的垂直平分线，故，从而转化为证，也就是证它们确定的△CEF和△GEC相似.证明：连结EC，AD垂直平分BC，即∥AB又∴△CEF∽△GEC例4如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上

4、取一点P，连结AP，垂足为G，交CE于D，求证：.分析：在中，线段CE、PE、DE在一条直线上无法直接用“三点定形法”来证，并且也找不到相等的比、线段来替换，但我们可以用相等的等积式来替换，可以先证：，再证.证明：°，°又°°又△AEC∽△CEB°，°°在△PAE中，°°又°△PEA∽△BED注：当要证明的比例式中的线段在同一条直线上时，可以用相等的比、相等的线段、相等的等积式来替换相应的量，把看似无路可走的题目盘活，从而达到“车到山前疑无路，柳暗花明又一村”的效果.常用方法三：利用相似三角形的性质

5、例5如图，Rt△ABC中，°，于点D，的平分线AE交CD于点F，交CB于点E.求证：.分析：观察中的四条线段，发现AF、AE在一条直线上，而且没有相等的量（比、线段、等积式）可替换，但AF、AE分别是△ACD和△ABC的内角平分线，CD、CB也是△ACD和△ABC的边，所以只要证明△ACD∽△ABC即可.证明：°又°又△CDA∽△BCA注：相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，我们可以利用这些性质来证明有关的等积式往往会起到事半功倍的效果！