小专题(六)　线段等积式、比例式的证明

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1、小专题(六)　线段等积式、比例式的证明方法1　三点定型法要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用“三点定型法”找相似三角形．1．已知：如图，∠ABC＝∠ADE.求证：AB·AE＝AC·AD.证明：∵∠ABC＝∠ADE，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE，∴＝，即AB·AE＝AC·AD.2．如图，已知△ABC中，点D在AC上，且∠ABD＝∠C，求证：AB2＝AD·AC.证明：∵∠ABD＝∠C，∠A是公共角，∴△ABD∽△ACB.∴＝.∴AB2＝AD·AC.3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB

2、的垂直平分线交AB于D，交AC于E，交BC延长线于F.求证：CD2＝DE·DF.证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，∴∠A＋∠B＝90°，CD＝AD.∴∠A＝∠DCE.又∵DF垂直平分AB，∴∠BDF＝90°.∴∠B＋∠F＝90°.∴∠DCE＝∠F.又∵∠CDE＝∠FDC，∴△CDE∽△FDC.∴＝，即CD2＝DE·DF.4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B.求证：BD·CD＝BE·CF.证明：∵△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠B＋∠BDE＋∠

3、DEB＝180°，∠BDE＋∠EDF＋∠FDC＝180°，∠EDF＝∠B，∴∠FDC＝∠DEB.∴△BDE∽△CFD.∴＝，即BD·CD＝BE·CF.方法2　等线段代换法从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再用“三点定型法”找相似三角形．5．已知：如图，在▱ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F.求证：AD·AB＝AF·CE.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD∥BC.∴∠ADF＝∠E.∴△ADF∽△CED.∴＝.∴＝，即AD·AB＝AF·CE.6

4、．如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC＝120°，求证：DE2＝BD·CE.证明：∵△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°.∴∠ADB＝∠AEC＝120°，∠B＋∠BAD＝60°.又∵∠BAC＝120°，∴∠B＋∠C＝60°.∴∠BAD＝∠C.∴△ABD∽△CAE.∴＝.∴＝，即DE2＝BD·CE.7．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点．求证：BP2＝PE·PF.证明：连接PC.在△ABC中，∵A

5、B＝AC，D为BC的中点，∴AD垂直平分BC.∴PB＝PC.∴∠PBC＝∠PCB.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC－∠PBC＝∠ACB－∠PCB，即∠ABP＝∠ACP.∵CF∥AB，∴∠ABP＝∠F.∴∠ACP＝∠F.又∵∠EPC＝∠CPF，∴△PCE∽△PFC.∴＝.∵PC＝PB，∴＝，即PB2＝PE·PF.方法3　等比代换法(找中间比)要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡．8．如图，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.求证：＝.证明

6、：在△ABQ中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ.∴DP∶BQ＝AP∶AQ.同理△AEP∽△ACQ，∴PE∶QC＝AP∶AQ.∴DP∶BQ＝PE∶QC，即＝.9．如图，在▱ABCD的对角线BD上任取一点P，过P点引一直线分别与BA、DC两边的延长线交于E、G，又与BC、AD两边交于F、H，求证：＝.证明：在▱ABCD中，∵AB∥CD，AD∥BC，∴＝，＝.∴＝.10．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形．其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F.求证：(1)△ACE≌△BCD；(2)

7、＝.证明：(1)∵△ABC与△DCE都是等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°.∴∠DCE＋∠ACD＝∠ACB＋∠ACD，即∠ACE＝∠BCD.∴△ACE≌△BCD(SAS)．(2)∵△ABC与△DCE都是等边三角形，∴AB＝AC，CD＝ED，∠ABC＝∠DCE＝60°.∴＝，AB∥DC.∴∠ABG＝∠CDG，∠BAG＝∠DCG.∴△ABG∽△CDG.∴＝.同理＝，∴＝.方法4　等积代换法(找中间积)常用到基本图形的结论找中间积．11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F

8、，求证：AE·AB＝AF·AC.证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠ADB＝∠AED＝90°.又∵∠DAE＝∠BAD，∴△ADE∽△ABD.∴＝，即AE·AB＝AD2.同理，△ADF∽△ACD，∴AF·AC＝AD2.∴AE·AB＝AF·AC.12．(崇明中考)如图，△ABC中