均值不等式备课讲稿.doc

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1、学校：年级：高二教学课题：均值不等式学员姓名：辅导科目：数学学科教师：教学目标掌握均值不等式的基本运用教学内容一．均值不等式1.（1）若，则(2)若，则（当且仅当时取“=”）（3）（当且仅当时取到等号）2.(1)若，则(2)若，则（当且仅当时取“=”），则(当且仅当时取“=”）(3)若三个正数a、b、c、则（当且仅当时取到等号）.3.若，则(当且仅当时取“=”）;若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）4.若，则(当且仅当时取“=”）（当仅当a=b时取等号）若，则(当且仅当时取“=”）5.若，则（当且仅当时取“=”）二、几个著名不等式①平均

2、不等式：，，当且仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）变形公式：②幂平均不等式：③二维形式的三角不等式：绝对值三角不等式

3、a

4、－

5、b

6、≤

7、a±b

8、≤

9、a

10、＋

11、b

12、④二维形式的柯西不等式：当且仅当时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：⑥一般形式的柯西不等式：⑦向量形式的柯西不等式：设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设④（当且仅当时取到等号）为两组实数.是的任一排列，则（反序和乱序和顺序和），当且仅当或时，反序和等于顺序和.注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的

13、和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．知识点一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x2＋（2）y＝x＋解题技巧：技巧一：凑项例1：(2)。变式练习：已知，求函数的最大值。技巧二：凑系数例1.当时，求的最大值。解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑

14、系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式练习：1、设，求函数的最大值。并求此时的值2．已知，求函数的最大值.；3．，求函数的最大值.技巧三：分离例3.求的值域。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。变式练习(1)技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的

15、单调性。例：求函数的值域。解：令，则因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。所以，所求函数的值域为。条件求最值1.若实数满足，则的最小值是.变式：若，求的最小值.并求x,y的值技巧六：整体代换：2：已知，且，求的最小值。。变式：（1）若且，求的最小值(2)已知且，求的最小值技巧七、已知x，y为正实数，且x2＋＝1，求x的最大值.技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不

16、等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。点评：①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值.解法一：

17、若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单　＋≤＝＝2解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W＞0，W2＝3x＋2y＋2·＝10＋2·≤10＋()2·()2＝10＋(3x＋2y)＝20　　∴W≤＝2变式:求函数的最大值。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应：知识点二：利用均值不等式证明不等式例：已知a、b、c，且。求证

18、：变式：1．已知为两两不相等的实数，求证：2、正数a，b，c满足a