构造法解三角形全等.doc

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1、构造法解三角形全等搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．1．截长补短法例1．如图1，已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，试说明：AB+BE=AC．2．平行线法（或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线来构造全等三角形．例2．如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=900，点D、E在边BC上，∠CAE=∠B，E是CD的中点，且AD平分∠BAE试问：BD与AC相等吗？请说说你的理由　3

2、．旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段或相等的角时，可试用旋转方法构造全等三角形。例3．已知：在△ABC中，AB=AC，D为△ABC内一点，且∠ADB=∠ADC，试问BD与DC有何等量关系？说说你的理由．4．倍长中线法题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。例4．AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=BE．试问：AC与BF相等吗？请说明你的理由5．翻折法若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．例5．（同例2）在Rt△ABC中，∠BA

3、C=900，点D、E在边BC上，∠CAE=∠B，E是CD的中点，且AD平分∠BAE试问：BD与AC相等吗？请说说你的理由答案：1.解法（一）（补短法或补全法）延长AB至F使AF=AC，由已知△AEF≌△AEC，∴∠F=∠ACE=45º，∴BF=BE，∴AB+BE=AB+BF=AF=解法（二）（截长法或分割法）在AC上截取AG=AB，由已知△ABE≌△AGE，∴EG=BE,∠AGE=∠ABE,∵∠ACE=45º,△∴CG=EG,∴AB+BE=AG+CG=AC．2.分析：本题可以过D点作AC的平行线来构造全等三角形解：BD=AC，理由如下：过D点作A

4、C的平行线交AE的延长线于F，则∠CAE=∠F，又因为∠AEC=∠DEF，E是CD的中点，所以，图2△AEC≌△FED，所以，AC=FD，又因为AD平分∠BAE，所以，∠DAE=∠BAD，又因为∠B=∠F，AD为公共边，所以，△ABD≌△AFD，所以，BD=DF，所以BD=AC3.分析：由于∠ADB=∠ADC，我们就可以利用旋转的方法，来构造全等三角形，从而解决问题．略解：将△ABD绕A点逆时针方向旋转至AB与AC重合，得△ACE，连结DE，则有△ACE≌△ABD，从而∠AEC=∠ADB=∠ADC，且AE=AD，CE=BD，由此可推出∠ADE=∠

5、AED，进一步有∠CDE=∠CED，得CE=CD，故有BD=CD4.解：AC=BF，理由如下：延长AD至H使DH=AD，连BH，∵BD=CD，∠BDH=∠ADC，DH=DA，∴△BDH≌△CDA，∴BH=CA，∠H=∠DAC，又∵AE=EF，∴∠DAC=∠AFE，∵∠AFE=∠BFD，∴∠AFE=∠BFD=∠DAC=∠H，∴BF=BH，∴AC=BF．5.分析：由于AD平分∠BAE，可将△ABD翻折到△ADF的位置，再利用三角形全等的知识来说明就可以了解：BD=AC，理由如下：由于AD平分∠BAE，可将△ABD翻折到△ADF的位置，则△ABD≌△A

6、FD，∠F=∠B，BD=DF，又因为∠CAE=∠B，所以∠CAE=∠F，又因为E是CD的中点，所以，△ACE≌△FDE，所以，DF=AC，所以BD=ACABCDE图3ABCDEFABCDFEG图1EABCDFH图4