构造全等三角形解

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1、构造全等三角形解题江西省南昌县莲塘五中万红娆在学完新课标八年级数学《全等三角形》之后，很多同学都发现，利用三角形全等可以解决很多线段或角度相等的问题，同学们都很喜欢用这种方法。但有的题目却不能直接应用，需要根据条件作辅助线构造全等三角形，下面我结合例题来介绍几种常用的构造全等三角形解题的方法。1、平移法构造全等三角形例1：如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，若AB>AD，DC=BC，求证：∠B+∠D=180°分析：利用角平分线构造三角形，将∠D转移到∠AEC，而∠AEC与∠CEB互补，∠CEB=∠B，从而证得∠D+∠B=180°DC证明：在AB上截取AE=AD在△ADC和△AEC中1

2、23AD=AEAEB∠1=∠2AC=AC∴△ADC≌△AEC（SAS）∴∠D=∠AEC，DC=CE又∵DC=BC∴CE=BC∴∠3=∠B又∵∠3+∠AEC=180°∴∠B+∠D=180°特别提示：在此题证明中，采用的主题方法是“线、角进行转移”。2、翻折法构造全等三角形例2：如图，已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，求证：AB=BC+CD。B证明：∵BD平分∠ABC，将△BCD沿BD翻折180°，点C落在BA上的E点。则有BE=BCE在△BCD与△BED中BC=BE（已证）DCA∠CBD=∠EBD（已知）BD=BD（公共边）∴△BCD≌△BED（SAS）∴∠DE

3、A=∠ACB=90°CD=DE∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC∴∠A=45°∴∠EDA=∠A=45°∴DE=EA∴AB=BE+EA=BC+CD即AB=BC+CD3、旋转法构造全等三角形例3：如图，已知点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，并且AF平分∠EAD，求证：BE+DF=AE。分析：本题要证的BE和DF不在同一条线上，因而需设法将它们“组合”到一起，想办法“链接”起来，可将△ADF绕点A旋转90°至△ABG，则△ADF≌△ABG，DF=BG，从而将BE+BG转化成线段GE，再进一步证明GE=AE即可。DAFCEGB证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABG，则

4、△ADF≌△ABG∴∠G=∠AFD，∠GAB=∠FAD，DF=BG∴BE+DF=BE+BG=GE又∵AF平分∠EAD∴∠FAD=∠FAE=∠GAB∴∠GAB+∠BAE=∠FAE+∠BAE即∠GAE=∠BAF又∵AB∥CD∴∠BAF=∠AFD=∠G∴在△EAG中，AE=GE，那BE+DF=AE特别提示：本题利用旋转巧妙地将两条分离的线段“链接”在一起从而得证，利用旋转构造三角形全等是经常用到的方法。4、延长法构造全等三角形例4：如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，试说明AB=AC+CD。ADEBC分析：证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段，再证明延

5、长部分与另一短线段相等即可。本题可延长AC至E，使AE=AB，构造全等三角形，然后证明CE=CD就行了。解：延长AC至E，使AE=AB，连结DE。12∵AB=AE，∠1=∠2，AD=AD∴△ABD≌△AED∴∠B=∠E∵∠ACD=∠E+∠CDE∠ACD=2∠B∴∠ACD=2∠E∴∠E=∠CDE∴CD=CE∴AB=AC+CDA特别提示：本例中用到的方法叫“补短法”，定将较短的线段AC补长，构造三角形全等，达到求解目的。本题也可采用“截长法”，即在AB上截取AF=AC，连结DF，构造三角形全等，证得AB=AC+CD，请读者自解。B5、截取法构造全等三角形CED例5：如图，已知△ABC中，边BC

6、上的高为AD，又∠B=2∠C，求证：CD=AB+BD。分析：欲证CD=AB+BD，可以在CD上截取一段等于BD，再证明另一段等于AB，如果截取DE=BD（如图），则△ADE可视为△ADB沿AD翻折而来。证明：在DC上截取DE=DB，连结AE，则△ADE≌△ADB∴AE=AB∠AEB=∠B∵∠AEB=∠C+∠CAE∠B=2∠CED=BD∴∠AEB=2∠C∴∠C=∠CAE∴CE=AE=AB∴CD=CE+ED=AE+ED=AB+BD