全等三角形专题_构造全等三角形方法总结

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1、......专题：构造全等三角形利用三角形的中线来构造全等三角形（倍长中线法）倍长中线法：即把中线延长一倍，来构造全等三角形。图1GCFBAED1、如图1，在△ABC中，AD是中线，BE交AD于点F，且AE＝EF．试说明线段AC与BF相等的理由．简析　由于AD是中线，于是可延长AD到G，使DG＝AD，连结BG，则在△ACD和△GBD中，AD＝GD，∠ADC＝∠GDB，CD＝BD，所以△ACD≌△GBD（SAS），所以AC＝GB，∠CAD＝∠G，而AE＝EF，所以∠CAD＝∠AFE，又∠AFE＝∠BFG，所以∠BFG＝∠G，所以BF＝BG，所以A

2、C＝BF．说明　要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个三角形全等，而遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形．利用三角形的角平分线来构造全等三角形法一：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。在AB上截取AE=AC，连结DE。（可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。）法二：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。延长AC到F，使AF=AB，连结DF。(可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。)法三：在△ABC中，AD平分∠BAC。作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。(可以利用角平分线所在直

3、线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形)（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN）学习参考......2、已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°法一：证明：在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。法二：延长BA到F，使BF=BC，连结DF。∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）∴∠1=∠2（角平分线定义）在△ABD和△EBD中在△BFD和△BCD中∵AB=EB（已知）BF=BC（已知）∠1=∠2（已证）∠1=

4、∠2（已证）BD=BD（公共边）BD=BD（公共边）∴△ABD≌△EBD（S.A.S）∴△BFD≌△BCD（S.A.S）∴∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等）∴∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等AD=DE（全等三角形的对应边相等）DF=DC（全等三角形的对应边相等）∵AD=CD（已知），AD=DE（已证）∵AD=CD（已知），DF=DC（已证）∴DE=DC（等量代换）∴DF=AD（等量代换）∴∠4=∠C（等边对等角）∴∠4=∠F（等边对等角）∵∠3+∠4＝180°（平角定义），∵∠F＝∠C（已证）∠A＝∠3（已证）∴∠4=∠C（等量代换）∴∠A

5、+∠C＝180°（等量代换）∵∠3+∠4＝180°（平角定义）∴∠A+∠C＝180°（等量代换）法三：作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴∠N=∠DMB=90°（垂直的定义）在△NBD和△MBD中∵∠N=∠DMB（已证）∠1=∠2（已证）BD=BD（公共边）∴△NBD≌△MBD（A.A.S）∴ND=MD（全等三角形的对应边相等）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴△NAD和△MCD是Rt△在Rt△NAD和Rt△MCD中∵ND=MD（已证）A

6、D=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L）∴∠4=∠C（全等三角形的对应角相等）∵∠3+∠4＝180°（平角定义），∠A＝∠3（已证）学习参考......∴∠A+∠C＝180°（等量代换）法四：作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。∵BD是∠ABC的角平分线（已知）DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴ND=MD（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴△NAD和△MCD是Rt△在Rt△NAD和Rt△MCD中∵ND=MD（已证）AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L）∴∠4=∠C（

7、全等三角形的对应角相等）∵∠3+∠4＝180°（平角定义）∠A＝∠3（已证）∴∠A+∠C＝180°（等量代换）利用高可以高线为对称轴构造全等三角形EDCBA3、在△ABC中，AD⊥BC，若∠C＝2∠B．试比较线段BD与AC+CD的大小．简析　由于AD⊥BC，所以可在BD上截取DE＝DC，于是可得△ADE≌△ADC（SAS），所以AE＝AC，∠AED＝∠C，又∠C＝2∠B，所以∠AED＝2∠B，而∠AED＝∠B+∠BAE，即∠B＝∠BAE，所以BE＝AE＝AC，所以BD＝BE+DE＝AE+DE＝AC+CD．说明　利用三角形高的性质，在几何解题时，

8、可以高线为对称轴构造全等三角形求解．利用特殊图形可通过旋转变换构造全等三角形图4P′PBAC4、设点P为等边三角形ABC内任一点，试比较线段PA与PB