方法归纳 构造三角形全等

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1、华章文化word版习题方法归纳构造三角形全等方法一与角平分线有关的“截长补短”法【例1】如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系,并说明理由.(想一想,你会几种方法)【方法总结】运用截长补短法构造三角形全等有两个标志：一是有“角平分线”；二是出现“一条线段等于两条线段的和或者差”.截长或者补短都是在角平分线的角的两边进行的,目的是借助角平分线的性质构造全等三角形.变式练习1在五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°.求证DA平分∠CDE

2、.变式练习2如图,在△ABC中,∠A=60°,BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD，CE交于点O,试判断BE,CD,BC的数量关系,并加以证明.方法二与角平分线有关的作垂线的方法【例2】如图,AD∥BC,DC⊥AD,AE平分∠BAD,E是DC的中点.问：AD,BC,AB之间有何关系？并说明理由.变式练习3如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,过C作CE⊥AB于E,并且AE=(AB+AD),求∠ABC+∠ADC的度数.方法三“中线倍长”法【例3】求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半.www.sjhzhb.c

3、om（编辑部）027-87778916华章文化word版习题【方法总结】涉及三角形中线问题时,常采用延长中线一倍的办法,即中线倍长法.它可以将分居中线两旁的两条边AB，AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中,以利于问题的获解.变式练习4已知,△ABC中,AB=4cm,BC=6cm,BD是AC边上的中线,求BD的取值范围.变式练习5已知：如图,AD,AE分别是△ABC和△ABD的中线,且BA=BD.求证：AE=AC.参考答案例1AB=AC+CD.理由如下：方法1：在AB上截取AE=AC,连接DE.易证△AED≌△A

4、CD(SAS）,∴ED=CD,∠AED=∠C.∵∠AED=∠B+∠EDB,∴∠C=∠AED=∠B+∠EDB.又∵∠C=2∠B,∴∠B=∠EDB.∴BE=DE.∴AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD.方法2：延长AC到点F,使CF=CD,连接DF.∵CF=CD,∴∠CDF=∠F.∵∠ACB=∠CDF+∠F，∴∠ACB=2∠F.又∵∠ACB=2∠B,∴∠B=∠F.∴△ABD≌△AFD(AAS）.∴AB=AF.∴AB=AF=AC+CF=AC+CD.变式练习1证明：延长DE至F,使EF=BC,连接AC,AF.∵∠ABC+∠AED

5、=180°,∠AED+∠AEF=180°,∴∠ABC=∠AEF.∵AB=AE，∴△ABC≌△AEF,∴AC=AF.∵BC+DE=CD,DE+EF=DF，∴CD=DF.∴△ACD≌△AFD.∴∠CDA=∠FDA.即DA平分∠CDE.变式练习2证明：在BC上截取BF=BE,连接OF.∵BD平分∠ABC,∴∠EBO=∠FBO,∴△EBO≌△FBO.∴∠EOB=∠FOB.∵∠A=60°,BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB,∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-∠ABC-∠ACBwww.sjhzhb.com（编辑部）0

6、27-87778916华章文化word版习题=180°-(180°-∠A）=120°,∴∠EOB=∠DOC=60°,∴∠BOF=60°,∠FOC=∠DOC=60°.∵CE平分∠DCB,∴∠DCO=∠FCO,∴△DCO≌△FCO.∴CD=CF.∴BC=BF+CF=BE+CD.例2AB=AD+BC.理由：作EF⊥AB于F,连接BE.∵AE平分∠BAD,DC⊥AD,EF⊥AB,∴EF=DE.∵DE=CE,∴EC=EF.∴Rt△BFE≌Rt△BCE(HL）.∴BF=BC.同理可证：AF=AD.∴AD+BC=AF+BF=AB.即AB=

7、AD+BC.变式练习3过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F.∵AE=(AB+AD）,∴AB+AD=2AE.∵AC平分∠BAD,即∠DAC=∠CAB,且CE⊥AB,CF⊥AD,∴CE=CF.又∵AC=AC,∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL）.∴AF=AE.∴AB+AD=AE+AF,∴AB-AE=AF-AD.即BE=DF.∴Rt△CFD≌Rt△CEB(SAS）,∴∠ABC=∠CDF,∴∠ABC+∠ADC=∠CDF+∠ADC=180°.例3已知：如图,△ABC中,AD是BC边上的中线.求证:AD<(AB+AC）.证明：延长AD至

8、E,使DE=AD,连接CE,则AE=2AD.在△ADB和△EDC中,∴△ADB≌△EDC(SAS）.∴AB=CE.又∵在△ACE中,AC+CE＞AE,∴AC+AB＞2AD,即AD<(AB+AC）.变式练习4如图,延长BD至E,使DE=BD.连接CE.∵BD是AC边上的中线,∴CD=AD.∵