类型四椭圆的弦长.doc

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1、类型四　椭圆的弦长　()经过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求AB的长．解：由题意得左焦点F1(－1，0)，直线l：y＝(x＋1)与椭圆方程联立得7x2＋12x＋4＝0.设A，B的横坐标分别为x1，x2，则根据弦长公式

2、AB

3、＝

4、x1－x2

5、＝2＝2＝.【评析】直线与椭圆相交求弦长，通常是将直线方程y＝kx＋b与椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的．　设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过F的直线

6、l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，椭圆的离心率为.如果

7、AB

8、＝，求椭圆C的方程．解：由题意知离心率e＝＝，c＝a，由b2＝a2－c2，得b＝a，∴椭圆C的方程为＋＝1.①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝(x－c)，即y＝，与①联立得32x2－36ax＋7a2＝0，(4x－a)·(8x－7a)＝0，解得x1＝，x2＝.由

9、AB

10、＝

11、x1－x2

12、＝2＝a＝，解得a＝3，∴b＝a＝.∴椭圆C的方程为＋＝1.类型五　椭圆中的最值问题　(1)已知F是椭圆＋＝1的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，求

13、PA

14、＋

15、PF

16、的最大

17、值和最小值．解：由题意知a＝3，b＝，c＝2，F(－2，0)．设椭圆右焦点为F′，则

18、PF

19、＋

20、PF′

21、＝6，∴

22、PA

23、＋

24、PF

25、＝

26、PA

27、－

28、PF′

29、＋6.当P，A，F′三点共线时，

30、PA

31、－

32、PF′

33、取到最大值

34、AF′

35、＝，或者最小值－

36、AF′

37、＝－.∴

38、PA

39、＋

40、PF

41、的最大值为6＋，最小值为6－.(2)求A(0，2)到椭圆＋y2＝1上的动点的距离的最大值和最小值．解：设椭圆上的动点B(x，y)，则

42、AB

43、＝＝＝，∵点B是椭圆上的点，∴－1≤y≤1.∴

44、AB

45、的最大值为，最小值为1.(3)在椭圆＋＝1上求一点，使它到直线2x－3y＋15＝0的距离最短．解：设所求点

46、坐标为A(3cosθ，2sinθ)，θ∈R，由点到直线的距离公式得d＝＝，当θ＝2kπ＋，k∈Z时，d取到最小值，此时A点坐标为(－3，2)．【评析】椭圆中距离的最值问题一般有3种解法：①利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e)；②根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上，如(2)中的点A)；③用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解．　(1)A为椭圆＋＝1上任意一点，B为圆C：(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则

47、AB

48、的最大值为______，最小值为______．解：设A

49、(x，y)，圆C的圆心为C(1，0)．问题可化为求点A到圆心的距离d的取值范围．由两点间距离公式可知，d＝＝＝.∵－5≤x≤5，∴d的最大值为6，最小值为.∴

50、AB

51、的最大值为6＋1＝7，最小值为－1.故填7；－1.(2)椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是(　　)A．3B.C.2D.解：设椭圆上一动点A(4cosθ，2sinθ)，θ∈R，则由点到直线的距离公式d＝＝，可知最大距离为.故选D.