排队论 第7章ppt课件.ppt

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1、排队论(QueuingTheory)信息与通信工程学院主讲：黄湘松2012年9月第一节串联排队系统的特征所谓的串联排队系统是指系统由串联的各个服务台组成，顾客必须依次通过每个台的服务才算服务结束。为方便，我们仅考虑一个由两个服务台组成的串联排队系统：顾客以速率到达第1台，接受服务后加入到第2台前队列，第2台服务完后就离去。第七章特殊排队系统假设两个服务台等待容量为无穷大。每个服务台每次服务一个顾客，服务时间服从指数分布，服务速率分别为。每个服务台服务相互独立，并且与到达过程独立（见图7.1）。图7.1串联排队为

2、分析这个系统，我们需要明了在这两个服务台的顾客数，为此定义状态对——表示有个顾客在服务台1，个顾客在服务台2，平衡方程有：状态离开速率＝进入速率（7-1）我们不直接求解上面的方程组，回忆我们学习系统得到的结果，可知：第1个服务台输出过程仍是参数为的Poisson过程，因而第2台的输入过程还是一个参数为的Poisson过程，因而有：{服务台1有个顾客}类似地，有{服务台2有个顾客}如果服务台1和服务台2的顾客数是独立的随机变量，则有（7-2）可以验证（7-2）确实是满足平衡方程组（7-1）的解，因而是极限概率。由

3、式（7-2）可以求出系统的顾客平均数为：（7-3）由此得一个顾客在系统中花费的平均时间为注：上面的结果可以进行推广。考虑有个服务台的情形：顾客从系统外到达第服务台服从参数为的负指数分布，（7-4）然后他们加入到第服务台队列直至轮到他们被服务，一旦在第服务台服务完，他们就以概率加入到第服务台队列。因此，，且表示顾客在第服务台服务完后离开系统的概率。我们令表示顾客到服务台的总速率，则可以从下面的方程组解出：等式（7-5）成立是因为是自系统外到达服务台顾客的速率，而是顾客离开服务台的速率（流入速率等于流出速率），是自

4、服务台到达服务台的顾客速率。（7-5）由此，每个服务台顾客数彼此独立且具有形式：而（7-6）的证明可以通过验证它满足该模型的平衡方程得到证明。系统的平均顾客数为顾客在系统中花费的平均时间可以由和（为什么不是？）得到：（7-8）例考虑两个服务台系统，系统外顾客以Poisson速率4到达服务台1，以Poisson速率5到达服务台2；服务台1和服务台2的服务速率分别为8和10，在服务台1完成服务后等可能到服务台2和离开系统（即），而在服务台2完成服务后以25％的概率到服务台1或离开系统（即）。确定极限概率，和。解：由

5、（7-5），服务台1和服务台2的总的到达速率和满足：解之，得：因此，一、“随机服务的”GI／M／c／∞排队系统考虑GI／M／c／∞排队系统，但服务次序是随机选择的，即每当有一个服务台得空时，就在等待服务的顾客中随机选择一人进行服务，此时等待服务的每一位顾客被选到的概率相同，把这种服务简称为“随机服务”。显然在“随机服务”和在“先到光服务”的排队规则下，队长分布是一样的，但等待时间却不同。在这一节中我们就来讨论“随机服务”情形下等待时间的平稳分布。第二节随机服务和后到先服务的GI/M/c/∞排队系统的基础理论仍然

6、假定输入分布为一般分布F(t)，且；服务时间分布为。我们把等待时间的平稳分布记为Wq(f)，其LS变换记为并设对“随机服务”的GI／M／c／∞排队系统，等待时间平稳分布的LS变换为下式所给定：其中满足线性微分方程：定理（7-9）（7-10）且此处为在的条件下，方程在单位圆

7、z

8、＜1内的惟一解，而（7-11）对“随机服务”的GI／M／c／∞排队系统，在条件下，平均等待时间为推论对“随机服务”的GI／M／c／∞排队系统，在下，等待时间分布的LS变换表达式为推论2其分布函数Wq（t）为而平均等待时间为其中pc表示系统

9、中有c个顾客的平稳概率。考虑GI／M／c／∞排队系统，但服务次序是“后到先服务”、即每当有一个服务台得空时，等待服务的顾客中最后到来者被接受服务。显然，“后到先服务”排队系统的队长分布与“先到先服务”的情形相同，但等待时间分布却有差异。下面我们就来讨论“后列先服务”情形下等待时间的平稳分布。二、“后到先服务”的GI／M／c／∞排队系统仍假定输入分布为一般分布F(t)，且；服务时间分布为G(t)＝1-e-μt，我们把等待时间的平稳分布记为Wq（t），其LS变换为并设对“后到先服务”的GI／M／c／∞排队系统，等待

10、时间平稳分布的LS变换为下式所给定：其中δ(s)为在的条件下，方程定理在个位圆

11、z

12、＜1内的惟一解，而对“后到先服务”的GI／M／c／∞排队系统，在时，平均等待时间为推论对“后到先服务”的GI／M／c／∞排队系统，在时，等待时间分布的LS变换为推论其分布函数Wq（t）为而平均等待时间为其中pc表示系统中有c个顾客的平稳概率。需要指出的是，从前面的讨论中看到，”先到先服务”、“随机服务”