2017届新人教B版定点定值存在性问题配餐作业.doc

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1、配餐作业(五十三)　定点、定值、存在性问题1．(2016·山西联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且

2、AF

3、＝1。(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且在直线x＝4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t,0)，使得·＝0。若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。解析：(1)由c＝1，a－c＝1，得a＝2，∴b＝，故椭圆C的标准方程为＋＝1。(2)由消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，∴Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即m2＝3＋4k2。设P(xP，yP)，则xP

4、＝－＝－，yP＝kxP＋m＝－＋m＝，即P。∵M(t,0)，Q(4,4k＋m)，∴＝，＝(4－t,4k＋m)，∴·＝·(4－t)＋·(4k＋m)＝t2－4t＋3＋(t－1)＝0恒成立，故即t＝1。∴存在点M(1,0)符合题意。2．(2016·合肥质检)已知△ABC的三个顶点(均异于坐标原点O)都在抛物线y2＝2px(p＞0)上，且抛物线的焦点F满足＋＋＝0，若BC边上的中线所在直线l的方程为mx＋ny－m＝0(m，n为常数且m≠0)。(1)求p的值；(2)记△OFA，△OFB，△OFC的面积分别为S1，S2，S3，求证：S＋S＋S为定值。解析：(1)∵抛物线的焦点F满足＋＋＝0，∴＝＋，取B

5、C边上的中点M，连接FM，则＝2，故点F在直线l上，在mx＋ny－m＝0中，令y＝0，得x＝1，得抛物线的焦点F(1,0)，于是＝1，p＝2。(2)证明：记A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由＋＋＝0知：x1＋x2＋x3＝3，且y＝4xi(i＝1,2,3)，于是S＋S＋S＝(y＋y＋y)＝x1＋x2＋x3＝3，∴S＋S＋S为定值3。3．已知直线l：y＝x＋，圆O：x2＋y2＝5，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等。(1)求椭圆E的方程；(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线斜率之积为定值。

6、解析：(1)设椭圆半焦距为c，圆心O到l的距离d＝＝，所以b＝＝。由题意得又b＝，∴a2＝3，b2＝2。∴椭圆E的方程为＋＝1。(2)证明：设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为y－y0＝k(x－x0)，联立直线l0与椭圆E的方程得把y＝kx＋(y0－kx0)代入＋＝1，消去y得(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0，∵l0与椭圆E相切，∴Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0，整理得(2－x)k2＋2kx0y0－(y－3)＝0，设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－，∵

7、点P在圆O上，∴x＋y＝5，∴k1·k2＝－＝－1。∴两条切线斜率之积为常数－1。4．(2016·武汉调研)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，O为坐标原点。(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的上顶点为N，是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，使点F为△PQN的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。解析：(1)设F(c,0)，则＝，知a＝c。过点F且与x轴垂直的直线方程为x＝c，代入椭圆方程，有＋＝1，解得y＝±b。于是b＝，解得b＝1。又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1。所以椭圆C的方程为＋y2＝1。(2)假设

8、存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQN的垂心。设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为N(0,1)，F(1,0)，所以kNF＝－1。由NF⊥PQ，知kPQ＝1。设直线l的方程为y＝x＋m，由得3x2＋4mx＋2m2－2＝0。由Δ＞0，得m2＜3，且x1＋x2＝－，x1x2＝。由题意，有·＝0。因为＝(x1，y1－1)，＝(x2－1，y2)，所以x1(x2－1)＋y2(y1－1)＝0，即x1(x2－1)＋(x2＋m)(x1＋m－1)＝0，所以2x1x2＋(x1＋x2)(m－1)＋m2－m＝0，于是2×－m(m－1)＋m2－m＝0，解得m＝－或m＝1。经检验，当m＝1时，△PQN不存在，

9、故舍去m＝1。当m＝－时，所求直线l存在，且直线l的方程为y＝x－。