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《圆锥曲线中定值和存在性问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、圆锥曲线中的定值与存在性问题一.圆锥曲线的存在性问题22斤1、(2009年全国2理卷第21题)已知椭圆C：±-+2_=i(n>/?>0)的离心率为过右焦点F的直ab3线/与c相交于A、B两点•当I的斜率为1时，坐标原点O至I”的距离为—.2UUUUU1IILIU⑴求a、b的值；⑵C上是否存在点P,使得当/绕F转到某一位置时,^OP=OA+OB成立？若存在,求出所有的点P的坐标与/的方程•若不存在，说明理由.点拨：问题⑴可先写LLU的方程，再利用点O到/的距离和椭圆的离心率求出a、b的值；问题⑵是存在性探索问题，可先探索命题成立的充要条件,将向塑坐标化，再综合运用题给条
2、件,逐步推出满足题意的/是否存在.但需考虑/转动时斜率不存在情形.解：⑴设F(c,0),当/的斜率为1时,其方程为x-y-c=0,点O到I的距离为
3、0-^~c
4、=-^=—,y/2x/22・c=1.由e=—=—,^a=l3fb=la2-c2=41.a3UUUUU1UUU⑵C上存在点P,使得当/绕F转到某一位置时,有OP=OA+OB成立.由⑴知C的方程为2x2+3y2=6.设人(兀］,才)，B(兀2小)・llUUUUUUU①当I不垂直尤轴时，设/的方程为y=k(x-).C上的点P使OP=OA+OB成立的充要条件是P的坐标为(兀［+x29y{+y2),且2(x)+x2
5、)2+3(%+.y2)2=6,即2xf+3yf+2球++4兀］花+6y』2=6.又A、B在C_h,2兀;+3y；=6,2兀；+3y；=6,2xtx2+3y{y2+3=0①将y=k(x-1)代入2x2+3/=6,整理得(2+3k2)x2-6k2x十3疋一6=(),于是X］+无=6k兀左=3k,yy=k2(x}一1)(无-1)二".代入①解得，k2=2,-2+3疋~2+3疋八八-2+3k~此时+x2=-,于是y+R(尢1+X2-2)=--，即•因此，当R=-込时，^(-，―),222222的方程为V2x+y-V2=0；当k=4i时，P(-,-—),/的方程为42x-y-
6、42=0.22umuuuuuuuuiuim②当/垂直于兀轴时，rfl04+OB=(2,0)知，C上不存在点P,^OP=OA+OB成立.综上C上存在点P(-,±—)使OP=04+0B成立，此吋/的方程为的x土y-血=0.222、已知双曲线的方程为X2-^-=1.(1)求以A(2,1)为中点的眩所在直线的方程；(2)以点B(1,1)为中点的弦是否存在？若存在，求出弦所在直线的方程；若不存在，请说明理由.点拨：(1)利用设而不求法和点差法构建方程，结合直线的斜率公式与中点坐标公式求111斜率•也可设点斜式方程,与双曲线方程联立，利用韦达定理与中点坐标公式求出斜率化(2)仿照
7、(1)求出方程，但要验证直线与双曲线是否有交点.,2,2解法1:（1）设片3，yJ,鬥也*2）是弦的两个端点，贝U有兀「一»=1,兀2,—牛i・两式相减得（州+兀2）（州_兀2）一（"+比"X_>2）二0・①・・・A（2,1）为弦的中点,・・・西+乳2=4,必+儿=2,代入①得4（州_兀2）=24_儿）.・・・©宀=6.故直线片4的方程为y—1=6（兀一2）,即6x—y-11=0.3x-y-2=0（2）假设这样的直线存在，同（1）可求得3x-y-2=0.由］y2得6，—12兀+7=0.X-—=13・・・A=122-4x6x7<0,・••所求直线与双曲线无交点.・••以
8、B（l,1）为中点的弦不存在.y-=k（x-2）解法2（1）设所求的直线方程为y-l=k（x-2）9易知斜率k显然存在.联立方程组得］r『X2-—=1.3整理得（3-以）兀2+（4£2一2灯兀一4伙2一比+1）=0①设£（西，必）,£（兀2』，2）是弦的两个端点，则又丁A是人马的中点,2—4/3—疋二4，解得k=6.故直线P｝P2的方程为）,一1=6（兀一2）,即6兀一），一11=0.（2）假设这样的直线存在，同（1）可求得直线人£的方程为3x-y-2=0.由｛?丁得6/一12尤+7=0.VA=122—4x6x7v0,・••所求直线与双曲线无x~=13交点.・••以
9、B（l,1）为中点的弦不存在.易错点：存在性问题的结杲通常是难以预料的，解答时先假设满足条件的直线存在，然后依题意求得结果,但要注意这不是充要条件，因此最后耍进行检验，否则就会出错.3、若抛物线y=ax2-｝上总存在关于直线无+y=0对称的两点，求a的取值范围.点拨：设出对称点所在直线的方程，根据该直线与曲线有两个交点，利用4>0求解.同时要利用中点坐标公式找出所设变量加与Q的关系.解：设抛物线上关于x+y=0对称的两点为A（兀］,必），B（（x2,y2）,A3的方程可设为：y=x+m.［y=x+m.、1由彳=>ax^-x-m-1=0/.A=1+4a
