圆锥曲线(直线与圆锥曲线地位置关系、定值、存在性问题(教师版)

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1、实用标准文案圆锥曲线—直线与圆锥曲线—定值、存在性问题1.已知椭圆，点为其长轴的等分点，分别过这五点作斜率为的一组平行线，交椭圆于，则10条直线的斜率乘积为.2.如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．若直线斜率为时，．（1）求椭圆的标准方程；NMQAOPxy（2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．解：（1）设．∵直线斜率为时，，∴，∴，．∵，∴，．∴椭圆的标准方程为．（2）以为直径的圆过定点．设，则，且，即．∵，∴直线

2、方程为，∴．文档实用标准文案直线方程为，∴．以为直径的圆为，即．∵，∴，令，，解得，∴以为直径的圆过定点．PNMBOAxyE3.（苏州期末）如图，已知椭圆，点是其下顶点，过点的直线交椭圆于另一点（点在轴下方），且线段的中点在直线上．（1）求直线的方程；（2）若点为椭圆上异于的动点，且直线，分别交直线于点，证明：为定值．解：（1）设点E（m，m），由B（0，－2）得A（2m，2m+2）．代入椭圆方程得，即，解得或（舍）．所以A（，），故直线AB的方程为．（2）设，则，即．设，由A，P，M三点共线，即，∴，又点M在直线上，解得M点的横坐标，

3、设，由B，P，N三点共线，即，∴，点N在直线上，解得N点的横坐标．文档实用标准文案所以OM·ON===2．4.（淮安宿迁摸底）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:,设是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.（1）若直线，互相垂直，求圆的方程；（2）若直线，的斜率存在，并记为，，求证：；（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．解析：（1）由圆的方程知，圆的半径的半径，因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以，即，①又点在椭圆上，所以，②联立①②，解得所以所求圆的方程为．（2）因为直线：，：，与圆相切，所以,

4、化简得同理，所以是方程的两个不相等的实数根，文档实用标准文案因为点在椭圆C上，所以，即，所以，即．（3）是定值，定值为36，理由如下：法一：是定值，定值为36，当直线不落在坐标轴上时,设,联立解得所以，同理，得，由，所以(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有，综上：．法二：(i)当直线不落在坐标轴上时,设,因为，所以,即，文档实用标准文案因为在椭圆C上，所以，即，所以，整理得，所以，所以．(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有，综上：．5.如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，直线：与椭圆相交于两点，．、是椭圆上异于的任意两点，且直线

5、，相交于点，直线，相交于点．xyAOBCDMN（1）求的值；（2）求证：直线的斜率为定值．解：（1）因为e＝＝，所以c2＝a2，即a2－b2＝a2，所以a2＝2b2．故椭圆方程为＋＝1．由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限．由解得A(b，b)．又AB＝2，所以OA＝，即b2＋b2＝5，解得b2＝3．故a＝，b＝．（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为＋＝1，从而A(2，1)，B(－2，－1)．①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C(x0，y0)，显然k1≠k2．文档实用标准文案从而k

6、1·kCB＝·＝＝＝＝－．所以kCB＝－．同理kDB＝－．于是直线AD的方程为y－1＝k2(x－2)，直线BC的方程为y＋1＝－(x＋2)．由解得从而点N的坐标为(，)．用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，)．所以kMN＝＝＝－1．即直线MN的斜率为定值－1．②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，－1)．仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB＝－．此时CA：x＝2，DB：y＋1＝－(x＋2)，它们交点M(2，－1－)．BC：y＝－1，AD

7、：y－1＝k2(x－2)，它们交点N(2－，－1)，从而kMN＝－1也成立．由①②可知，直线MN的斜率为定值－1．方法二：由（1）知，椭圆E的方程为＋＝1，从而A(2，1)，B(－2，－1)．①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2．显然k1≠k2．直线AC的方程y－1＝k1(x－2)，即y＝k1x＋(1－2k1)．文档实用标准文案由得(1＋2k12)x2＋4k1(1－2k1)x＋2(4k12－4k1－2)＝0．设点C的坐标为(x1，y1)，则2·x1＝，从而x1＝．所以C(，)．又B(－2，－1)

8、，所以kBC＝＝－．所以直线BC的方程为y＋1＝－(x＋2)．又直线AD的方程为y－1＝k2(x－2)．由解得从而点N的坐标为(，)．用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，)．所以kMN＝＝＝－1．即直