直线与圆锥曲线的位置关系(教师版)

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1、戴氏教育科华总校电话：86917776高三数学（VIP）专用学案曾老师第8讲　直线与圆锥曲线的位置关系【高考会这样考】1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想．2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用．【复习指导】本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数

2、问题及相关的不等式与等式的证明问题．基础梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即消去y后得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C无公共点．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，

3、则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行．2．圆锥曲线的弦长(1)圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．(2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

4、AB

5、＝＝

6、x1－x2

7、＝·

8、y1－y2

9、.

10、(抛物线的焦点弦长

11、AB

12、＝x1＋x2＋p＝，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．一种方法点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．双基自

13、测8———————————————————————————————————————————————————当你能梦的时候就不要放弃梦。戴氏教育集团戴氏教育科华总校电话：86917776高三数学（VIP）专用学案曾老师1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)．A．相交B．相切C．相离D．不确定解析　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案　A2．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的(　　)．A．充分而不必要

14、条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析　与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点．答案　A3．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　)．A．3B．2C．2D．4解析　根据题意设椭圆方程为＋＝1(b＞0)，则将x＝－y－4代入椭圆方程，得4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0，∵椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)·(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)

15、(b2－3)＝0，∴b2＝3，长轴长为2＝2.答案　C4．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)．A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析　设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：两式作差得：＝＝＝，又AB的斜率是＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线的标准方程是－＝1.答案　B5

16、．y＝kx＋2与y2＝8x有且仅有一个公共点，则k的取值为________．解析　由得ky2－8y＋16＝0，若k＝0，则y＝2；若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1.故k＝0或k＝1.答案　0或1　　考向一　直线与圆锥曲线的位置关系【例1】►设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)．A.B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4][审题视点]设直线l的方