资源描述：
《考研数学第三章+典型例题ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三章微分中值定理与导数的应用微分中值定理洛必达法则利用导数研究函数的性态函数的最值及其应用1例1证证明方程有且仅有一个小于1的正实根.设则在上连续,且由介值定理,存在使即为方程的小于1的正实根.设另有使因为在之间满足罗尔定理的条件,2所以至少存在一点(在之间),使得但导致矛盾,故为唯一实根.完例1证证明方程有且仅有一个小于1的正实根.因为在之间满足罗尔定理的条件,3例2设在上连续,在内可导,且证明:存在使成立.证从结论倒退分析知,可引进辅助函数由于罗尔定理条件,易知在上满足且因此,在内至少存在一点使4例2设在上连续,在内可导,且证明:存在使成立.证因此,在内至少存
2、在一点使即因所以完5例3证完证明设即又6例4证证明当时,设足拉格朗日定理的条件.故从而又由则在上满完7分析例5设函数在上连续,导.在内可试证明至少存在一点使结论可变形为证作辅助函数则在上满足柯西中值定理的故在内至少存在一点条件,使完8例6解求完9例7解求注:若求则可利用上面求出的函数极限,得完10完例8解求原式11例9解求原式注:对数函数幂函数指数函数均为当时的无穷大,但它们增大的速度很不一样,其增大速度比较:对数函数<<幂函数<<指数函数.例10解求注意到则有注:洛必达法则但若能与其它求极限的方法结合使用,效果会更好.虽然是求未定式的一种有效方法,12例11解求当
3、时,故完13例12解求所求极限属于的未定式.但分子分母分别求导数后,将化为此式振荡无极限,故洛必达法则失效,不能使用.但原极限是存在的,可用下法求得:完14例13解求对于型,可将乘积化为除的形式,即化为或型的未定式来计算.完15例14求解完16例15求解原式直接用洛必达法则,计算量较大.为此作变量替换,令则当时,所以完17例16求解将它变形为由于故完18例17求解完19例18求解由于所以完20例19求解一利用洛必达法则.解二利用两个重要极限.完21例20求解完22例21求解因为所以完23例22当时，试证成立.证设则在上连续，且在内可导，上单调增加，在当时，即证毕.完
4、24例23试证明：当时，证作辅助函数因为在上连续，在内可导，当时，又故当时，所以完且25例24证明方程在区间内有且只有一个实根.证令因在闭区间延续，且根据零点定理在内有一个零点.另一方面，对于任意实数有26例24证明方程在区间内有且只有一个实根.证另一方面，对于任意实数有所以内单调增加，因此曲线在与轴至多只有一个交点.综上所述可知，方程在区间内有且只有一个实根.完27例25证明方程两个实根.证令欲证题设结论等价于证在内有两个零点.令因有一零点.又因在内故在内单调增加，这零点唯一.在区间内有故在内28例25证明方程两个实根.证在区间内有另一方面故在内有一零点.又在内所
5、以在内单调减少，这零点也唯一.因此，在内有且仅有两个零点，证毕.完292021/7/3130例26解极大值极小值2021/7/3131图形如下2021/7/3132例27解2021/7/31332021/7/3134例28解注3:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.35例29求的渐近线.解易见函数的定义域为又是曲线的铅直渐近线.36例29求的渐近线.解又是曲线的铅直渐近线.是曲线的一条斜渐近线.完
