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《考研数学第六章+典型例题ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六章无穷级数常数项级数的概念与性质正项级数任意项级数幂级数泰勒级数函数的幂级数展开式函数的幂级数展开式的应用例3讨论级数的收敛性.解所以即题设级数收敛，完其和为1.例4证明级数是发散的.证级数的部分和为显然，故题设级数发散.完例5讨论等比级数(又称为几何级数)的收敛性.解当有若有则若有则若有则例5讨论等比级数(又称为几何级数)的收敛性.解若则级数变为易见不存在.综上所述,等比级数收敛,且当时,例5讨论等比级数(又称为几何级数)的收敛性.解综上所述,等比级数收敛,且当时,注:几何级数是收敛级数中最著名的一个级数.它在数展开为
2、无穷级数等方面都有广泛而重要的应用.完求无穷级数的和以及将函判断无穷级数的收敛性、例6求级数的和.解根据等比级数的结论,知而由前例,知所以完例7设级数收敛，发散，证明：发散.证用反证法,已知收敛,假定收敛,由收敛,这与题设矛盾,所以级数发散.与级数性质得知完例8判别级数是否收敛.解将所给级数得到新级数因为收敛，而级数发散，所以级数发散，根据性质3的推论1，每相邻两项加括号去括号后的级数例8判别级数是否收敛.解因为收敛，而级数发散，所以级数发散，根据性质3的推论1，去括号后的级数也发散.完解由图可知注：重要参考级数几何级数,P
3、-级数,调和级数.即可得例2证明级数是发散的.证而级数发散,发散.完例3判别级数的敛散性.解运用比较判别法.因而是收敛的,所以原级数收敛.完例4且证明:证得从而由比较判别法知,设级数及都收敛,级数也收敛.由由于与都收敛,故是收敛的,正项级数也收敛.再由与的收敛性可推知:级数也收敛.例4且证明:证从而由比较判别法知,设级数及都收敛,级数也收敛.正项级数也再由与的收敛性可推知:级数收敛.例6判定下列级数的敛散性:解因故根据极限判别法,知所给级数收敛.因为根据极限判别法,知所给级数收敛.完例7判别级数的敛散性.解记采用比较法的极限
4、形式,取因所以原级数与级数具有相同的敛散性,而知从例7判别级数的敛散性.解采用比较法的极限形式,取因所以原级数与级数具有相同的敛散性,而知从当时,级数收敛;当时,级数发散.完例8解可得所以原级数也收敛.判别级数的敛散性.作比较.选取级数由收敛,因级数无穷小在级数审敛讨论时十分有用的,事实上级数趋向于零的“快慢”程度.的收敛性取决于通项可以看到极限中的某些等价从以上解答过程中注:完例9判别下列级数的收敛性:解故级数收敛.故级数发散.比值判别法改用比较判别法,因为级数收敛,失效,而所以收敛.完例10判别级数的敛散性.解因为而对于
5、级数由比值判别法,因所以级数收敛,从而原级数亦收敛.完例11判别级数的敛散性.解采用比较审敛法,由于原级数收敛;当时,原级当时,比值法失效,但此时注意到:数列严格单调增加,且于是即故所以当时,数发散;此得到所以当时原级数发散.由完例12判别级数的敛散性.解一般项含有次方,故可采用根值判别法.因为故所求级数收敛.完例13判别级数的收敛性.解因为由根值判别法知题设级数收敛.例14判别级数的收敛性.解因为而故原级数收敛.完例1解满足:判断级数的收敛性.易见题设级数的一般项所以级数收敛,其和用近似产生的误差完例2解有又利用洛必达法则
6、有是交错级数.判断的收敛性.由于所以令即时,是递减数列,则由莱布尼茨定理知该级数收敛.完例3解题设级数绝对收敛;敛,故题设级数条件收敛.判别级数的收敛性.由易见当时,当时,但发散,完由莱布尼茨定理知收例4解故由定理知原级数绝对收敛.判别级数的收敛性.而收敛,收敛,完例5解有因此所给级数发散.判定级级的收敛性.而由可知/完例6解这是一个交错级数,采用比值审敛法:所以原级数非绝对收敛.判别级数的敛散性.考察级数是否绝对收敛,令由可知当充分大时,有所以原级数发散.故例6解这是一个交错级数,采用比值审敛法:所以原级数非绝对收敛.判别
7、级数的敛散性.考察级数是否绝对收敛,令由可知当充分大时,有完例7解且由交错级数审敛法,原级数收敛.另一方面,判别级数的收敛性.因为即而发散,故发散.是条件收敛的.于是级数例7解且由交错级数审敛法,原级数收敛.另一方面,判别级数的收敛性.因为即而发散,故发散.完例1几何级数就是一个函数项级数,根据本章第一节的讨论知:级数收敛;级数发散.此,发散域为有当时,当时,这个级数的收敛域是区间在收敛域内即几何级数的和函数为因这个结果作许多问题中均有重要作用.完例2解由比值判别法原级数绝对收敛.原级数发散.求级数的收敛域.当时,即或当时,
8、即当或时,例2解原级数绝对收敛.原级数发散.求级数的收敛域.当时,即或当时,即当或时,级故级数的收敛域为发散,级数为数为收敛;时,完例3确定级数解此级数收敛.有的收敛域.当时,级数为当时,记由比值判别法知,此时级数绝对收敛,故级数收敛.因此,级数的收敛域为完例4求下列幂级数的收敛域:解该级
