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1、第7章微分方程微分方程的基本概念一阶微分方程全微分方程可降阶的二阶微分方程二阶微分方程的性质与解的结构二阶常系数线性微分方程差分方程*例4试指出下列方程是什么方程,并指出微分方程的阶数.解(1)是一阶线性微分方程,因方程中含有的和都是一次.(2)是一阶非线性微分方程,因方程中含有的的平方项.例4试指出下列方程是什么方程,并指出微分方程的阶数.解(3)是二阶非线性微分方程,因方程中含有的的三次方.(4)是二阶非线性微分方程,因方程中含有非线性函数和完例1解求解微分方程的通解.分离变量得两端积分得从而记则得到题设方程
2、的通解完例2解分离变量得得求微分方程的通解.的各项,先合并及设两端积分得于是例2解求微分方程的通解.于是则得到题设方程的通解记注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中,用它除方程两边,这样得到的通解,不包含使的特解.但是,其失去的解仍包含在通解中.如在本例中,我们得有时如果我们扩大任意常数的取值范围,则到的通解中应该但这样方程就失去特解而如果允许则仍包含在通解中.完的前提下,我们在假定例3时,解则已知当求设所以原方程变为即所以故完例4设一物体的温度为将其放置在空气温度为的环境中冷却.变化规律.解的试求物体
3、温度随时间设物体的温度与时间的函数关系为在上节的例1中我们已经建立了该问题的数学模型:下面来求上述初值问题其中为比例常数.的解.分离变量,得例4设一物体的温度为将其放置在空气温度为的环境中冷却.变化规律.解的试求物体温度随时间再将条件代入,于是,两边积分得其中为任意常数即其中从而得所求规律为例4设一物体的温度为将其放置在空气温度为的环境中冷却.变化规律.解的试求物体温度随时间再将条件代入,于是,从而得所求规律为注：物体冷却的数学模型在多个领域有着广泛的应度推断这个人死亡时间,算解决.用.例如,法医要根据尸体当时的
4、温警方破案时,就可以利用这个模型来计完例6解题设方程为齐次方程,则求微分方程满足初始条件的特解.设代入原方程得分离变量得两边积分得将回代,则得到题设方程的通解为例6解求微分方程满足初始条件的特解.两边积分得将回代,则得到题设方程的通解为利用初始条件得到从而所求题设方程的特解为完例7解原方程变形为方程化为求解微分方程令则分离变量得例7解求解微分方程分离变量得两边积分得整理得所求微分方程的解为完例8解原方程变形为求解微分方程令则故原方程变为即分离变量得,dxduxudxdy+=齐次方程例8解求解微分方程分离变量得两边
5、积分得或便得所给方程的通解为回代完例11解所给方程为其次方程,整理,得分离变量,得设商品和商品的售价分别为已知价格与相关,且价格相对的弹性为求与的函数关系式.令则例11解分离变量,得求与的函数关系式.两边积分,得则得到所求通解数关系式)将回代,(即与的函为任意正常数完例11解设方程,代入上式,代入题得求的通解.直线和直线的交点是因此作变换令则得分离变量,得例11解求的通解.两边积分,得即将回代得并整理所求题设方程的通解完再将回代,例1解于是所求通解为完求方程的通解.例2解这是一个非齐次线性方程.先求对应齐次方程的
6、通解.用常数变易法,求方程的通解.由把换成即令则有例2解用常数变易法,求方程的通解.把换成即令则有两端积分得回代即得所求方程的通解为代入所给非齐次方程得完例3求下列微分方程满足所给初始条件的特解:解于是将方程标准化为例3求下列微分方程满足所给初始条件的特解:解于是将方程标准化为故所求特解为由初始条件得完例4已知函数.解原方程实际上是标准的线性方程,其中直接代入通解公式,得通解求解方程是的完例5解方程变为这个方程不是一阶线性微分方程,不便求解.如果方程改写为则为一阶线性微分方程,于是对应齐次方程为求方程的通解.当将
7、看作的函数时,将看作的函数,例5解求方程的通解.利用常数变易法,设题设方程其中为任意常数,分离变量,即并积分得代入原方程,积分得的通解为得其中为任意常数.故原方程的通解为完例7解得解得完求的通解.两端除以令得故所求通解为例8解得即求方程的通解.以除方程的两端,令则上述方程变为解此线性微分方程得得所求通解为以代完例9解上式即变为一阶线性方程求方程的通解.令则于是得到伯努利方程令其通解为例9解上式即变为一阶线性方程求方程的通解.令其通解为回代原变量,即得到题设方程的通解完例10解得所求通解为完求解微分方程令则利用分离
8、变量法解得将代回,例1解的特解.对所给方程接连积分二次,得求方程满足在中代入条件得在中代入条件得从而所求题设方程的特解为完例2解令于是题设方程降阶为两边积分,得求方程的通解.这是一个不显含有未知函数的方程.则即例2解两边积分,得求方程的通解.即例2解两边积分,得求方程的通解.即即或再积分,完得原方程的通解例3解代入方程并分离变量后,有两端积分,即求微分方程初值问题的特解.
