考研数学第五章+典型例题ppt课件.ppt

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1、第五章定积分及应用定积分的概念定积分的性质微积分基本公式定积分的计算广义积分定积分的应用举例例2利用定积分的几何意义计算例3解设可导,且求由积分中值定理知有使完例1解求例2解求这里是的函数,因而是的复合函令则根据复合函数求有数,导公式,例2解求令则根据复合函数求有导公式,完例3解设是连续函数,试求以下各函数的导数.(1)(2)(3)(2)(3)(1)因为所以因为所以,完例4解设函数由方程所确定.求在方程两边同时对求导:于是即故完例5解求分析:这是型未定式,应用洛必达法则.故完例6证在设内连续,且函数在内为单调增加函数.证明因为所以例6证在设内连续,且函数在内为单调

2、增加函数.证明证故在内为单调增加函数.完例9解求设如图,则由定积分性质得:完例10解计算因为所以完例11解求定积分完例12解求由图形可知完例15证设函数在闭区间上连续,证明在开区间内至少存在一点使因连续,故它的原函数存在,设为即设在上根据牛顿-莱布尼茨公式,有显然函数在区间上例15证设函数在闭区间上连续,证明在开区间内至少存在一点使显然函数在区间上存在一点使因此按微分中值定理,在开区间内至少满足微分中值定理的条件,故例15证设函数在闭区间上连续,证明在开区间内至少存在一点使存在一点使在开区间内至少故中不难看出积分中值定理与微分中值定理的联系.从其证明注:本例的结论

3、是对积分中值定理的改进.完例1求定积分解令则注:本例中,如果不明显写出新变量上、下限就不要变,重新计算如下:则定积分的完例2求定积分解令则由换元积分公式得注:在第一节的课堂练习中,我们曾利用定积分的几何意义完解本题并得到相同的结果.例3求定积分解令则从而完例4则当在上连续,(1)当为偶函数,有(2)当为奇函数,有证在上式右端第一项中令则(1)当为偶函数,即例4则当在上连续,(1)当为偶函数,有(2)当为奇函数,有证(1)当为偶函数,即(2)当为奇函数,即完例5因为积分区间对称于原点,所以完计算且为偶函数,解为奇函数,单位圆的面积偶函数奇函数例6计算解原式完例7证明

4、若在上连续,由此计算证(1)设例7证明若在上连续,由此计算证(2)设证完例8计算解令则完例9求由分部积分公式得解再用一次分部积分公式得从而完解计算例10令则当时,当时,于是有再使用分部积分法,令则从而完例1计算广义积分解对任意的有于是因此或完例2判断广义积分解对任意的收敛性.因为不存在,故由定义知广义积分发散.完完例3计算广义积分解例4计算广义积分解原式完例5计算广义积分解注:其中未定式完例6讨论广义积分的敛散性.证因此,当时,题设广义积分收敛,其值为当时,题设广义积分发散.完例7计算广义积分原式完解例8计算广义积分故题设广义积分发散.完解例9讨论广义积分证的敛散

5、性.因此,广义积分收敛,当时,其值为完广义积分发散.当时,例10计算广义积分瑕点.解完例11计算广义积分被积函数有两个可疑的瑕点:解因为所以,是被积函数的唯一瑕点.从而完例12计算下列各值：解（1）例13计算下列积分解（1）解两曲线的交点，面积元素选为积分变量解方程组注被积函数为上-下，上为下为解两曲线的交点选为积分变量注被积函数为“右-左”右为直线，左为抛物线解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．解于是解利用对称性知解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积解直线方程为过原点及点解利用公式，可知上例中解建立坐标系,底圆方程为截面面积立体体积解建

6、立坐标系，底圆方程为截面面积立体体积解所以弧长为解的全长所以解