初等代数作业(数科1303夏梦楠161301038).docx

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1、课题：9.4反三角式的恒等变形教时：3课时教学目的：理解恒等的意义，熟练掌握书本上的18个恒等变式，学会推导方法并能熟练的推导出反三角式的恒等变式，并运用恒等式解题；利用知识发生过程的教学方法,围绕反三角函数的概念,培养学生分析变通能力。教学重点：反三角函数的恒等式的推导和运用教学难点：反三角函数的恒等式的推导教学内容：根据反三角式的定义和三角式之间的恒等关系，可推导出下列恒等式。（1）arcsin(-x)=-arcsinx证因为-π2≤arcsin(-x)≤π2，-π2≤arcsinx≤π2.sin〔arcsin-x〕=-x，sin-arcsinx=-sin

2、（arcsinx）=-x，所以arcsin(-x)=-arcsinx（2）arctg-x=-arctgx证明步骤与恒等式（1）相同.（3）arcsinx+arccosx=π2.证设α=arcsinx,-π2≤α≤π2,则sinα=x.设β=arccosx0≤β≤π,则cosβ=x,sin(π2-β)=cosβ=x因为-π2≤π2-β≤π2，由sinα=sinπ2-β，可得α=π2-β，α+β=π2，即arcsinx+arccosx=π2（4）arctgx=arcctgx=π2证明步骤与恒等式（3）相同.恒等式（3）与（4）是由互为余角的三角恒等式导出的反三角式

3、恒等式。（5）arccosx+arccos（-x）=π证设α=arccosx0≤α≤π,则sinα=x.设β=arccos（-x）0≤β≤π,则cosβ=-x,cosπ-β=-cosβ=--x=x因为0≤π-β≤π，由cosα=cosπ-β，可得α=π-β，α+β=π即arccosx+arccos（-x）=π（6）arcctgx+arcctg（-x）=π证明步骤与恒等式（5）相同.恒等式（5）与（6）是由互为补角的三角恒等式导出的反三角式恒等式。属于区间-π2到π2，或0到π的反三角式可以由另一个属于相同区间的反三角式表示.（7）如果x<1，那么arcsinx

4、=arctgx1-x2（用反正切表示反正弦）.证因为-π2≤arcsinx≤π2，tg(arcsinx)=x1-x2-π2≤arctgx1-x2≤π2,tgarctgx1-x2=x1-x2,所以tg(arcsinx)=tgarctgx1-x2从而有，arcsinx=arctgx1-x2（8）如果-∞

5、弦表示反正切）.恒等式（9）与（10）的证明步骤与前两个相同.属于区间0到π2的任意一个反三角式可以由属于这一区间的其他任意一个反三角式表示.（11）如果0≤x≤1，那么arcsinx=arccos1-x2（用反余弦表示反正弦）.（12）如果0≤x≤1，那么arccosx=arcsinx1-x2（用反正弦表示反余弦）.（13）如果x≥0，arctgx=arccos11+x2（用反余弦表示反正切）.（14）如果00，arctgx=arcctg1x（用反余切表示反正切）.（1

6、6）如果x>0，arcctgx=arctg1x（用反正切表示反余切）.（17）如果x≥0，arcctgx=arcsin11+x2（用反正弦表示反余切）.（18）如果0

7、π+arctg1x这就是在x<0的情形下用反正切表示反余切。如果一个反三角式与另一个反三角式的取值范围是相同的，并且它们对于某一三角运算的值是相等的，那么这两个反三角式被认为具有恒等的关系.根据这样的意义，以一个反三角式代换另一个与它恒等的反三角式，便称为是反三角式的恒等变形。下列各个恒等式的证明表明了反三角式的恒等变形的基本方法和步骤。例1证明cos（2arctg17）=sin（4arctg12）证根据§9.3反三角式的三角运算的公式（18）与（19），可得cos（2arctg17）=1-（17）21+（17）2=2425sin（4arctg12）=2sin

8、⁡（2arctg12）cos（2arc