备战2021届新高考命题点分析与探究9 函数的值域与最值（解析版）.doc

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1、备战2021新高考数学命题分析与探究命题9函数的值域与最值第一部分命题点展示与分析命题点1命题方向命题难度求函数值域的常用方法容易命题方向一求函数值域的常用方法1.(2021汇编，50分)解决下列问题：①已知函数f(x)＝试求函数f(x)的最大值．答案：1解：当x>1时，f(x)＝logx是减函数，且f(x)<0.当x≤1时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，易知f(x)在(－∞，1]上单调递增，且f(1)＝1，所以函数f(x)的最大值为1.②求函数f(x)＝log2(－x2＋2x＋3)的值域．答案：(－∞，2]解：若函数f(x)有意义，则－x2＋2x＋3>0，解得－1

2、

3、＋∞)，根据基本不等式得m＝3x＋3－x≥2，当且仅当x＝0时等号成立，则h(m)＝m2－3m－2，m∈[2，＋∞)．因为函数h(m)＝m2－3m－2＝－在[2，＋∞)上单调递增，所以当m＝2时，h(m)取得最小值－4，即函数g(x)在[0，＋∞)上的值域为[－4，＋∞)．④求函数y＝2x＋的值域．答案：解：令1－2x≥0，得x≤，即函数y＝2x＋的定义域为.令t＝(t≥0)，则x＝，所以y＝－t2＋t＋1＝－＋，t≥0，所以当t＝，即x＝时，ymax＝，无最小值，所以函数y＝2x＋的值域为.⑤求函数y＝的值域．答案：(－1，1]解：y＝＝－1＋.因为1＋x2≥1，所以0<≤2，

4、所以－1<－1＋≤1，所以函数y＝的值域为(－1，1]．⑥求函数f(x)＝(x>1)的最小值．答案：8解：因为x>1，所以x－1>0，所以f(x)＝＝＝x－1＋＋2≥2＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时等号成立，所以函数f(x)＝(x>1)的最小值为8.⑦求函数y＝x－的值域．答案：解：若函数有意义，则1－2x≥0，解得x≤，故函数的定义域为.易知函数y＝x和y＝－均为增函数，所以函数y＝x－在定义域上是增函数，所以y≤－＝，所以函数y＝x－的值域为．⑧求函数y＝的值域．答案：解：原式可化为ysinx－cosx＝3y，所以sin(x＋β)＝3y，其中sinβ＝－，cosβ＝，

5、即sin(x＋β)＝.因为sin(x＋β)∈[－1，1]，所以－1≤≤1，解得－≤y≤，故函数的值域为[－，]．⑨求函数f(x)＝＋的最小值．答案：5解：因为f(x)＝＋＝＋，所以f(x)的几何意义为一动点到两定点的距离的和．设动点P(x，0)，两定点为A(1，1)和B(4，－3)，则f(x)＝PA＋PB≥AB＝＝5，所以函数f(x)＝＋的最小值为5.⑩已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x，求f(x)在闭区间[－1，5]上的最小值和最大值．答案：最小值为－16，最大值为20解：f′(x)＝3x2－12x＋9，令f′(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当－1

6、1或30，所以f(x)在(－1，1)，(3，5)上为增函数；当1

7、　　B．(1，2]C.D．[，＋∞)答案：D解析：由题意得f(2)＝2m＋8＝4，解得m＝－2，所以f(x)＝当x<3时，f(x)＝－2x＋8是减函数，f(x)>－2×3＋8＝2，此时f(x)无最小值，所以当x≥3时，f(x)必存在最小值，所以f(x)＝logax必为[3，＋∞)上的增函数，所以a>1，且f(3)≤2，即解得a≥.故选D.3.(2019河北二模，5分)设函数f(x)＝若f(x)的最大值不超过1，则实数a的取值范围为(　　)A.　　　　B.C.D.答案：A解析：当x