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1、第六章线性变换和特征值6.1n维空间的线性变换6.2方阵的特征值和特征向量6.3相似矩阵与矩阵的对角化6.4实对称矩阵的对角化6.5二次型及其标准形6.6奇异值分解简介6.7应用实例6.8习题6.1n维空间的线性变换定义6.1设X,Y是两个非空集合。若对于X中的任一元素x,按照一定的对应法则T，总有Y中一个确定的元素y与之对应，则称T为从集合X到集合Y的映射，记为或，称y是X在映射T下的像，x是y在映射T下的源,X称为映射T的源集，像的全体所构成的集合称为像集，记作。定义6.2设是实数域上的向量空间，T是一个从到的映射，若映射T满足1)2)则称T为从到的线性
2、映射，或称线性变换。线性映射就是保持线性组合的映射。例6.1试证所有矩阵相乘的关系式即都是的线性映射。证：利用矩阵的数乘及乘法运算，是的映射。显然有及即T是的线性映射。例6.2向量空间V中的恒等变换是线性变换。证明：设，则有所以恒等变换E是线性变换。6.2方阵的特征值和特征向量6.2.1特征值和特征向量的定义和计算定义6.3设是阶方阵，若存在数和维非零列向量，使得（6-1）成立，则称数为方阵A的特征值，称非零向量为方阵A对应于特征值的特征向量。将（6-1）式变形为(或)（6-2）满足这个方程的和就是我们要求的特征值和特征向量。（6-2）式是含个方程的元齐次线
3、性方程组，它有非零解的充要条件是（6-3)记作（6-4）称为方阵A的特征多项式，方程称为方阵A的特征方程，特征值即为特征方程的根。由于是的次多项式，所以方程在复数域内有个根（重根按重数计算）。矩阵A的特征值和特征向量的计算步骤：第一步：求特征值。先通过行列式（6-4）的计算，写出其特征多项式，这一步的难度是计算一个高阶的矩阵的行列式，需要很大的计算工作量；第二步：并进行因式分解然后求出特征方程的全部根这就是A的所有特征值；第三步：把每个特征值分别代入方程，求齐次线性方程组的非零解，它就是A对应于特征值的一个特征向量（不是惟一的）。例6.4求矩阵的特征值和特征
4、向量。解：A的特征多项式所以A的全部特征值为对于特征值解齐次线性方程组，即可得它的一个基础解系所以都不为零）是A对应于特征值的全部特征向量。对于特征值，解齐次线性方程组，得它的一个基础解系，所以是A对应于特征值8的全部特征向量。6.2.2方阵的特征值和特征向量的性质性质1阶矩阵A与其转置矩阵有相同的特征值。性质2设是矩阵A的个特征值，则1)2)称为矩阵A的迹，记为性质3设为方阵A的特征值，则1）当A可逆时，是的特征值2）是A的伴随矩阵的特征值3）是的特征值；进而有矩阵A的次多项式的特征值为例6.5设矩阵1)求及的特征值；2)进一步求矩阵的特征值。解：1）由A
5、的特征方程可得A的全部特征值为1，2，-1。的特征值为，即-2,13,-8。2）解法1：先计算，令，求出特征方程的根即可。解法2：因为所以A可逆，为对应于A的特征值的特征向量，则又所以从而矩阵的特征值为，即定理6.1设为方阵A的互不相同的特征值，分别为对应于特征值的特征向量，则线性无关。推论矩阵A的个互不相同特征值所对应的组各自线性无关的特征向量并在一起仍是线性无关的。6.2.3特征值和特征向量的MATLAB求法MATLAB提供了计算方阵的特征值和特征向量各步骤的函数。这三个步骤是：（1）用f=poly(A)可以计算方阵A的特征多项式系数向量f；（2）用la
6、mda=roots(f)可以求特征多项式f的全部根lamda（表示为列向量）；（3）用函数p=null([lamda*I-A])直接给出基础解p,将n个特征列向量p排在一起，就是的特征向量矩阵。取例6.4为典型，解题的程序ea604为A=[3,2,4;2,0,2;4,2,3];f=poly(A),r=roots(f),r=real(r)B1=r(1)*eye(3)-A;B1=rref(B1,1e-12),p1=null(B1,‘r’)B2=r(2)*eye(3)-A;p2=null(B2,‘r’)B3=r(3)*eye(3)-A;p3=null(B3,‘r’
7、)程序运行的结果为：f=1.0000-6.0000-15.0000-8.0000(特征多项式系数向量)r=8.0000(三个特征根即特征值,后两个是重根)-1.0000+0.0000i(微小虚数可用r=real(r）去除)-1.0000-0.0000i实际上MATLAB已经把求特征根和特征向量的步骤集成化，其中也包括了处理计算误差的功能，所以一条命令就解决问题了。这个功能强大的子程序名为eig(特征值英文是eigenvalue,特征向量英文是eigenvector)，调用的形式是：[p,lamda]=eig(A)输出变元中的lamda是特征值，p是特征向量。
8、把例6.4的系数矩阵A代入，即可得到：6.3相似矩阵
