第4章 特征值问题和二次型ppt课件.ppt

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1、第4章特征值问题和二次型矩阵特征值理论在许多实际问题的解决中起着重要作用.本章着重介绍了矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，给出了矩阵与对角矩阵相似的条件，并对实二次型的有关内容进行了讨论.第4章目录第4.1节特征值与特征向量第4.2节相似矩阵第4.3节二次型简介第4.4节数学实验第4.1节特征值与特征向量特征值与特征向量概念特征值与特征向量性质返回1.特征值与特征向量概念(1)特征值与特征向量定义设A为n阶方阵，若存在数λ及非零向量x使Ax=λx则称数λ为A的特征值，x为A的对应于λ的特征向量.例如注：①

2、属于同一特征值的特征向量不惟一；②一个特征向量不能对应于不同特征值.所以1为A的一个特征值，特征值1的特征向量.(2)相关概念将特征值与特征向量定义式Ax=λx改写为λx–Ax=0即(λE–A)x=0称(3)特征值与特征向量求法依据(λE–A)x=0知：特征向量x为该齐次线性方程组的非零解；而齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式λE–A=0,即A的特征值λ为特征方程的根.步骤如下(i)求出特征方程λE–A=0的全部根λ1,λ2,…,λn,即A的全部特征值；(ii)对每个λi,求方程组(

3、λiE–A)x=0的所有非零解即为A的对应于特征值λi的特征向量.分析例1求矩阵A的特征值和特征向量解(i)(ii)例2解(i)(ii)例3求矩阵A的特征值和特征向量解(i)(ii)例2与例3中,重特征值所对应的线性无关特征向量的个数是不相同的.2.特征值与特征向量的性质(1)特征值的性质定理1若λ1,λ2,…,λn为方阵A的n个特征值，则(i)λ1λ2…λn=A;(ii)λ1+λ2+…+λn=a11+a22+…+ann=tr(A).证(i)根据多项式因式分解与方程根的关系，有λE–A=(λ-λ1)

4、(λ-λ2)…(λ-λn)令λ=0，得–A=(-λ1)(-λ2)…(-λn)=(-1)nλ1λ2…λn,即A=λ1λ2…λn.(ii)略.定理2若λ为方阵A的特征值，则(i)λk为Ak(k为正整数)的一个特征值;(ii)若f(x)为x的多项式,则f(λ)为f(A)的一个特征值；(iii)若A可逆,则λ-1为A-1的一个特征值;λ-1A为A*的一个特征值;定理3n阶方阵A与AT有相同的特征值.证由于(λE–A)T=(λE)T–AT=λE–AT,所以λE–A=(λE–A)T=λE–AT即

5、A与AT有相同的特征值.定理2的证明例4已知3阶方阵A的特征值为1，2，-3.求(1)2A的特征值；(2)A–1的特征值;(3tr(A),

6、A

7、;(4)A*的特征值;(5)A2的特征值;(6)B=A2–2A+E的特征值及

8、B

9、.解由特征值的性质，得(1)2A的特征值为2，4，–6；(2)A–1的特征值为1，1/2，–1/3;(3)tr(A)=1+2+(–3),

10、A

11、=12(-3)=–6;(4)A*的特征值为–6，–3，2;(5)A2的特征值为1，4，9;(6)B=A2–2A+E的特征值为λ2–2λ

12、+1即0，1，16；

13、B

14、=0.(2)特征向量的性质定理4方阵A的对应于不同特征值的特征向量线性无关.证设λ1,λ2,…,λm为方阵A的m个不同特征值,x1,x2,…,xm为相应的特征向量.当m=1时,x1≠0(单个的非零向量线性无关),定理成立.假设对m－1不同的特征值定理成立，现证对m个不同特征值定理也成立.设k1x1+k2x2+…+kmxm=0(*)用方阵A左乘上式两端,得k1Ax1+k2Ax2+…+ksAxm=0再利用Axi=ixi(i=1,2,…,m),得k11x1+k22x2+…+kmm

15、xm=0(**)(**)-λm(*),得k1(1－m)x1+k2(2－m)x2+…+km-1(m-1－m)xm-1=0由归纳假设,x1,x2,…,xm-1线性无关.因而ki(i－m)=0i=1,2,…,m-1但(i－m)0(i=1,2,…,m-1),于是ki=0(i=1,2,…,m-1).此时式(*)变成kmxm=0,而xm≠0，所以km=0.这就证明了x1,x2,…,xm线性无关.关于对应于同一个特征值的特征向量间的关系，有定理5若0是方阵A的k重特征值，则对应于0的线性无关

16、特征向量个数不超过k个.当A为实对称矩阵时，有定理6实对称矩阵A的k重特征值恰好有k个对应于此特征值的线性无关的实特征向量.练习第4.2节相似矩阵相似矩阵矩阵与对角矩阵相似的条件实对称矩阵的对角化返回1.相似矩阵(1)相似矩阵定义:设A、B为n阶方阵，若存在可逆矩阵P,使P–1AP=B称矩阵A相似于矩阵B,或称A与B相似.记为A∼B.例如注:①A∼A；②若A∼B，则B∼A；③若A∼B,B∼C则A∼C.④A∼B⇒A