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1、方阵的特征值、特征向量和二次型实验目的熟悉利用MATLAB中有关方阵的迹方阵的特征值、特征向量二次型的操作方法11.方阵的迹矩阵A的迹是指矩阵的对角线上元素的和，也等于矩阵的特征值的和。命令格式为：trace(A)例1.设，计算A的迹t.程序设计>>A=[111;2–10;101];>>t=trace(A)t=12例2.设，计算A的迹t。程序设计>>A=[8652;3221;4231;3511];>>t=trace(A)t=1432.方阵的特征值与特征向量手工计算方阵的特征值与特征向量并不是一件
2、容易的事，而用MATLAB来计算方阵的特征值与特征向量只需要一个简单的命令。这里需注意两个英文单词：eigenvalues（特征值）和eigenvectors（特征向量）。理解这两个单词，对以下命令的使用是有好处的。计算方阵的特征值与特征向量的命令格式为：eig(A)给出方阵A的所有特征值4[V,D]=eig(A)给出由方阵A的所有特征值组成的对角矩阵D和特征向量矩阵V，满足A*V=V*D,或者A=V*D*V-1，第k个特征值对应的特征向量是V的第k个列向量。poly(A)当A是n阶方阵时，给出
3、的是A的特征多项式的n+1个按降幂排列的系数。即特征多项式
4、λE-A
5、=DET(lambda*EYE(SIZE(A))-A)的系数5例3.设，计算A的特征值和特征向量。程序设计：>>A=[8652;3221;4231;3511]A=86523221423135116>>eig(A)%A的特征值ans=13.58910.94550.1191-0.65377>>[V,D]=eig(A)%A的特征值与特征向量V=%A的特征向量，列向量-0.7985-0.0957-0.65470.1876-0.3038
6、0.12300.2322-0.3533-0.3913-0.37770.7118-0.2531-0.34200.91270.10380.8809D=%对角元素是A的特征值13.589100000.945500000.11910000-0.65378>>V*D*inv(V)%验证A=V*D*V-1ans=8.00006.00005.00002.00003.00002.00002.00001.00004.00002.00003.00001.00003.00005.00001.00001.0000>>a
7、1=V(:,1)%特征值λ1=13.5891对应的特征向量a1=-0.7985-0.3038-0.3913-0.34209>>a2=V(:,2)%特征值λ2=0.9455对应的特征向量a2=-0.09570.1230-0.37770.9127>>a3=V(:,3)%特征值λ3=0.1191对应的特征向量a3=-0.65470.23220.71180.103810>>a4=V(:,4)%特征值λ4=-0.6537对应的特征向量a4=0.1876-0.3533-0.25310.880911>>c=p
8、oly(A)%A的特征多项式的n+1个按降幂排列的系数c=Columns1through51-1458-1>>f=poly2sym(c)%将多项式向量c表示为符号形式f=x^4-14*x^3+5*x^2+8*x-9007199254740961/9007199254740992%f即为A的特征多项式
9、λE-A
10、=λ4-14λ3+5λ2+8λ-112例4.设，计算A的特征值与特征向量。程序设计>>A=[1111;11–1–1;1–11–1;1–1–11];>>eig(A)%A的特征值ans=-2.
11、00002.00002.00002.000013>>[V,D]=eig(A)%A的特征值与特征向量V=%A的特征向量，列向量-0.50000.21130.28870.78870.50000.7887-0.28870.21130.5000-0.5774-0.28870.57740.500000.86600D=%对角线元素是A的特征值-2.000000002.000000002.000000002.000014>>c=poly(A)%A的特征多项式的n+1个按降幂排列的系数c=Columns1thr
12、ough51-4016-16>>f=poly2sym(c)%将多项式向量c表示为符号形式f=x^4-4*x^3+3/1125899906842624*x^2+16*x-16%f即为A的特征多项式
13、λE-A
14、=λ4-4λ3+16λ-1615例5.设，计算正交矩阵，使得为对角矩阵。程序设计>>A=[011–1;10–11;1–101;-1110];>>isequal(A,A')%判断A和A'是否相等，即A是否是对称矩阵ans=1%A是对称矩阵16>>[Q,D]=eig(A)%A的特征值与特征向量满足
