矩阵的特征值和特征向量、二次型

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1、数学工具软件教案授课题目：矩阵的特征值和特征向量、二次型授课时间：2012年2月28日、3月1日教学目的与要求：学会用MATLAB软件求矩阵的特征值和特征向量；学会用MATLAB软件将二次型化为标准型；学会用MATLAB软件编程来判断二次型的正定性教学重点与难点：用MATLAB软件求矩阵的特征值和特征向量；用MATLAB软件编程来判断二次型的正定性教学方法：讲授法教学手段：多媒体教学讲授内容：一、特征值与特征向量矩阵与向量相乘，即表示矩阵对向量的变换(Transformation)。一般说来，向量在变换的作用下将发生旋转(Rotation)、反射(Reflect

2、ion)和放大缩小。但对于任何一个矩阵来说，总存在那么一些特殊的向量，在对其变换的作用下，向量的方向不变，而仅长短发生变化。这种向量就是所谓的特征向量。定义：设是阶方阵，是一个数。如果存在非零的列向量，使得成立，则称数为方阵的特征值(Eigenvalue)，非零列向量称为方阵的属于特征值的特征向量(Eigenvector)，该方程称为特征方程(EigenvalueEquation)。的全体特征值的和称为矩阵的迹(Trace)。它等于的主对角元素的和。用Matlab计算特征值和特征向量的命令如下：d=eig(A)仅计算A的特征值(以向量形式d存放)[V,D]=ei

3、g(A)其中：D为由特征值构成的对角阵，V为由特征向量作为列向量构成的矩阵。且使AV=VD成立trace(A)计算矩阵A的迹例1：求方阵的特征值、特征向量和迹解：>>A=[22-2;25-4;-2-45];>>[VD]=eig(A)>>trace(A)V=-0.29810.89440.3333-0.5963-0.44720.6667-0.74540-0.6667D=1.00000001.000000010.0000>>trace(A)ans=12答：特征值为：（二重），。对应于特征值的全部特征向量为：其中不能同时为零。对应于特征值的全部特征向量为：其中不能为零。

4、矩阵的迹为：二、矩阵的相似对角化设，都是阶方阵，若存在阶可逆矩阵，使：，则称矩阵，是相似的。设是阶方阵，若与对角矩阵相似，则称可对角化。定理1：阶方阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。例2：判断下列方阵是否可对角化。若可对角化，求出可逆阵P，使为对角阵。；解(1)：>>A=[460;-3-50;-3-61];>>[VD]=eig(A)V=00.5774-0.89440-0.57740.44721.0000-0.57740D=1000-20001>>rank(V)ans=3答：A可对角化，且(2)：>>A=[010;-120;-111];>>[VD]

5、=eig(A)V=00.63250.451100.63250.45111.00000.44720.7701D=100010001>>rank(V)ans=2答：A不可对角化。定理2：方阵可对角化的充分必要条件是它的几何重数等于代数重数。的特征值的几何重数为方程组的解空间的维数；的特征值的代数重数为作为特征根的重数。下述函数可用来判断矩阵是否可对角化，若可对角化返回1，否则返回0。functiony=trigle(A)%可对角化返回1，否则返回0。y=1;c=size(A);ifc(1)~=c(2)y=0;return;ende=eig(A);n=length(A

6、);while1ifisempty(e)return;endd=e(1);f=sum(abs(e-d)<10*eps);g=n-rank(A-d*eye(n));iff~=gy=0;return;ende(find(abs(e-d)<10*eps))=[];endfunctiony=trigle(A)%可对角化返回1，否则返回0。y=1;c=size(A);ifc(1)~=c(2)y=0;returnende=eig(A);n=length(A);while1ifisempty(e)%若为空阵则为真return;endd=e(1);f=sum(abs(e-d)<

7、10*eps);%特征值d的代数重数g=n-rank(A-d*eye(n));%特征值d的几何重数iff~=gy=0;return;ende(find(abs(e-d)<10*eps))=[];end例3：判断下列方阵是否可对角化。若可对角化，求出可逆阵P，使为对角阵。；解(1)：>>A=[4-312;5-854;6-1285;1-322]；>>trigle(A)ans=0答：A不可对角化。(2)：>>A=[1111;11–1–1;1–11–1;1–1–11];>>trigle(A)ans=1>>[PD]=eig(A)P=-0.50000.21130.28870

8、.78870.50000