特征值与特征向量、二次型

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1、特征值、特征向量、二次型特征值定义相似求法实对称阵隐含的信息性质特征值定义特征多项式特征向量不同特征值的特征向量线性无关k重特征值至多有k个线性无关的特征向量概念矩阵对角化应用显然，如果矩阵A可逆，则A的特征值不等于0.一、特征值与特征向量4.对角阵5.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．一、矩阵的相似3、若阶方阵A与对角阵相似，三、方阵对角化3、如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似．4、如果A的特征方程有r重根λ，而λ没有r个线性无关的特征向量，则矩阵A不能对角化.5、实对称阵一定能对角化.一、正交矩阵定义14、A为正交矩阵的充要条件是A的行、列向量组都

2、是两两正交的单位向量．二、向量的内积定义1内积定义2正交正交向量组：非零向量组中的向量两两正交。（1）正交化，取，三、Schmidt正交化规范化过程（2）单位化，取施密特正交化过程（2）n阶实对称矩阵有n个线性无关的特征向量.四、实对称矩阵隐含的信息（3）实对称矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交.（4）n阶实对称矩阵有n个两两正交的单位特征向量.（5）对于n阶实对称矩阵A，一定有正交阵T，对角阵D，使得其中对角阵D对角线上的元素是T的各列所对应的特征值。根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.构造

3、正交阵T.5.二次型与它的矩阵是一一对应的．n元二次型A与B合同：，其中C可逆。A与B合同.二次型X´AX可经非退化线性替换化为二次型Y´BY定理正交变换法化二次型为标准形第一步写出f的矩阵A第二步求A的特征值第三步并将属于λi的特征向量正交化第四步将特征向量单位化第五步得到正交变换X=TY定义正定二次型正定性的相关结论1)实二次型正定3）非退化线性替换不改变二次型的正定性.秩＝n＝（的正惯性指数）.2）(定理2)n元实二次型正定规范形为4）正定二次型　　　　　　　的标准形为等价描述：实对称矩阵A正定A与单位矩阵E合同.5）实二次型X´AX正定的充分必要条件是实对称阵A的特

4、征值都是正数。6）正定矩阵A的行列式大于0.7）二次型是正定的充分必要条件是实对称矩阵的各阶顺序主子式都大于0。8）二次型是负定的充分必要条件是实对称矩阵的奇数阶顺序主子式都小于0，而偶数阶顺序主子式都大于0。解