特征值与特征向量、若当标准型

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1、特征值与特征向量、若当标准型[实验目的]1.      掌握特征值与特征向量基本概念及其性质2.      掌握若当标准型的基本概念3.      学习、掌握MATLAB软件有关的命令。[实验准备]1．求一个方阵的特征值与特征向量可以使用函数eig()。d=eig(A),返回A所有特征值组成的向量d.[V,D]=eig(A),返回A所有特征值组成的矩阵D和特征向量组成的矩阵V.()d=eig(A,B),返回复数矩阵A+Bi所有特征值组成的向量d.[V,D]=eig(A,B),返回复数矩阵A+Bi所有特征值组成的矩阵D和特征向量组成的矩阵V.2．tra

2、ce()求矩阵的迹3．sum(A,dim)矩阵元素求和函数，dim=1则按列求和，dim=2则按行求和。prod(A,dim)矩阵元素求积函数，dim=1则按列求积，dim=2则按行求积。4．jordan()求若当标准型[实验内容]一、特征值与特征向量例1求矩阵A=的特征值与特征向量。 相应的MATLAB代码及计算结果如下:>>Clear>>A=[122;212;221];>>[V,D]=eig(A)V=0.60150.55220.57740.1775-0.79700.5774-0.77890.24480.5774D=-1.0000000-1.000

3、00005.0000>>d=eig(A)d=-1.0000-1.00005.0000>>inv(V)*A*V>>ans=-1.00000.0000-0.0000-0.0000-1.0000-0.00000.00000.00005.0000说明：（1）方阵A的特征值为，（2）特征值-1的特征向量为V中的第1、2列，特征值5的特征向量为V中的第3列。每一个特征向量的范数为1，且彼此之间正交。二、矩阵的迹矩阵的迹可用函数trace()来求。例2求例1中矩阵A的迹，并验证相应的MATLAB代码及计算结果如下:>>clear>>A=[122;212;221];

4、>>a=trace(A)a=3>>d=eig(A)d=-1.0000-1.00005.0000>>b=sum(d,1)b=3>>e=det(A)e=5>>f=prod(d,1)f=5说明：（1）函数sum(A,dim)是矩阵元素求和函数，dim=1则按列求和，dim=2则按行求和。（2）函数prod(A,dim)是矩阵元素求积函数，dim=1则按列求积，dim=2则按行求积。三、若当标准形若当标准型可用函数jordan()来求。J=jordan(A),其中J为A的若当标准型.例3求矩阵A=的若当标准型。 相应的MATLAB代码及计算结果如下:>>cl

5、ear>>A=[-1-26;-103;-1-14]A=-1-26-103-1-14>>J=jordan(A)J=110010001说明：Matlab中若当块是按上三角形定义的。作业:P32419#