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1、章相似矩阵及二次型§5.3对称矩阵的对角化§5.2相似矩阵§5.1方阵的特征值与特征向量§5.4二次型及其标准形§5.5用配方法化二次型成标准形§5.6正定二次型§5.1方阵的特征值与特征向量引言矩阵的特征值理论在许多领域都有重要的应用。如：◆工程技术中的振动问题和稳定性问题;◆经济管理中的主成分分析(PCA);◆数学中的微分方程组求解和迭代法的收敛性;◆图像(信息)处理中的压缩存取.本章主要涉及在矩阵理论中非常重要的矩阵相似对角化问题.定义设A是n阶方阵,如果数和n维非零列向量x满足则称为A的特征值,非零向量x称为A的对应于(或属于)特征值的特征向
2、量。把(1)改写为使得(2)有非零解(2)的所有非零解向量都是对应于的特征向量.是A的特征值5.1方阵的特征值与特征向量(注：可以求得，)称为A的特征多项式，而称为A的特征方程。由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有n个根(重根按重数计算)。因此，n阶方阵在复数范围内恰有n个特征值。本章关于特征值、特征向量的讨论永远约定在复数范围内.5.1方阵的特征值与特征向量性质设n阶方阵特征值为,则又(P160)5.1方阵的特征值与特征向量例1求矩阵的特征值.两个特征值为问:特征向量是实的还是复的?5.1方阵的特征值与特征向量例2求A的特征值.因此,n个特征
3、值为问：对角矩阵,下三角矩阵的特征值为？5.1方阵的特征值与特征向量例3求矩阵A，B的特征值和特征向量。并注意二者的区别?解（对于矩阵A）5.1方阵的特征值与特征向量A的特征值为对于，解方程组同解方程组为，令，得基础解系因此，对应于特征值的所有特征向量为5.1方阵的特征值与特征向量对于，解方程组同解方程组为，令得基础解系因此，对应于特征值的所有特征向量为5.1方阵的特征值与特征向量(对于矩阵B)B的特征值为5.1方阵的特征值与特征向量对于，解方程组同解方程组为，令，得基础解系因此，对应于特征值的所有特征向量为5.1方阵的特征值与特征向量对于，解方程组
4、同解方程组为，令，得基础解系因此，对应于特征值的所有特征向量为5.1方阵的特征值与特征向量回答问题：(1)向量满足,是A的特征向量吗？(2)实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗?(3)矩阵A可逆的充要条件是所有特征值______。，A有一个特征值为______。(4)，A有一个特征值为______。可逆,A的特征值一定不等于______。(5)A的特征值与的特征值有什么关系？5.1方阵的特征值与特征向量(6)一个特征值对应于几个特征向量?一个特征向量对应几个特征值?(见例4)(7)A的各行元素之和均等于2,则A有一个特征值是___,它对应的特征向量
5、是______。特征向量的个数=____。是的一个特征值，它对应的最大无关的5.1方阵的特征值与特征向量例4证明：一个特征向量只能对应一个特征值。证假设是A的对应特征值和的特征向量则5.1方阵的特征值与特征向量例5(P.157~P.158)设是方阵A的特征值,对应的一个特征向量证明(1)是kA的特征值，对应的特征向量仍为x。(2)是的特征值，对应的特征向量仍为x。(3)当A可逆时，是的特征值，对应的特征向量仍为x。证5.1方阵的特征值与特征向量推广：设是方阵A的特征值，则是的特征值。的特征值。如果A可逆，则的特征值。是是5.1方阵的特征值与特征向量例
6、6(类似P161例8)设3阶矩阵A的三个特征值为求解A的特征值全不为零，故A可逆。的三个特征值为计算得因此，5.1方阵的特征值与特征向量例7证明A的特征值只能取1或2.设是A的特征值，则的特征值为由于是零矩阵，其特征值全是零，故证5.1方阵的特征值与特征向量第五章相似矩阵及二次型§5.3对称矩阵的对角化§5.2相似矩阵§5.1方阵的特征值与特征向量§5.4二次型及其标准形§5.5用配方法化二次型成标准形§5.6正定二次型§5.2相似矩阵设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似。对A进行运算称为对A进行相似变换，
7、可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。定义特别地，如果A与对角矩阵相似，则称A是可对角化的。性质(1)相似关系是一种等价关系;(2)A与B相似,则r(A)=r(B);(3)A与B相似,则;从而A与B有相同的特征值;(4)A与B相似,则;(5)A与B相似,则;(6)A与B相似,则与相似;其中(7)A与B相似,且A可逆,则与相似。5.2相似矩阵例1(1)与相似，求x与y和A的特征值。(2)与相似，求a与b。解(1)A的特征值等于B的特征值为：5.2相似矩阵(2)5.2相似矩阵下面讨论对角化的问题说明：如果A可对角化，它必有n个线性无关的特征向量，就是P
8、的n个列；反之，如果A有n个线性无关的特征向量，把它拼成矩阵P(可逆)，把上面过程逆过来即知A可对角化。定理
