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1、第四章矩阵的特征值第一节矩阵的特征值与特征向量第二节相似矩阵与对角化第三节实对称矩阵的特征值与特征向量2009.7.224-1-1第一节方阵的特征值与特征向量特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的性质2009.7.224-1-2一、特征值与特征向量的概念定义成立,(1)设A为n阶矩阵,如果存在数λ和n维非零向量x,使Ax=λx那么称数λ为矩阵A的特征值,而称向量x为矩阵A属于特征值λ的特征向量.方阵的特征值与特征向量2009.7.223说明1.特征向量x≠0,特征向量是方阵A属于特征值λ2.n阶方阵A的特征值是齐次线性方程组(A-λE)x=0有非零解的λ值,即满足方程
2、A-λ
3、E
4、=0的λ值均是矩阵A的特征值.的向量.方阵的特征值与特征向量2009.7.224的特征方程.是以λ为未知数的一元n次方程,称
5、A-λE
6、=0为A记f(λ)=
7、A-λE
8、,它是λ的n次多项式,称其为方阵A特征多项式方阵的特征值与特征向量2009.7.2254.n阶方阵A=(aij)的特征值λ1,λ2,…,λn又称矩阵A的特征根.若λ0是特征方程的k重特征根,则称λ方阵A的k重特征根特征值与特征向量的求法1.求方阵A=(aij)的特征方程
9、A-λE
10、=0的值λ1,λ2,…,λn2.对于方阵A=(aij)的特征值λ0,求属于该特征值的特征向量方阵的特征值与特征向量2009.7.2
11、26例1解A的特征多项式得A的特征值λ1=-2,λ2=4当λ1=-2时,有(A+2E)x=0,即求A的特征值与特征向量.其中方阵的特征值与特征向量2009.7.227解之得,5x1=-x2.矩阵A属于λ1=-2的全部特征向量k1(1,-5)T于是相应的特征向量可取p1=(1,-5)T当λ2=4时,有(A-4E)x=0,即解之得,x1=x2.矩阵A属于λ2=4的全部特征向量k2(1,1)T于是相应的特征向量可取p2=(1,1)T方阵的特征值与特征向量2009.7.228例2解A的特征多项式得A的特征值λ1=2,λ2=λ3=1当λ1=2时,有(A-2E)x=0求A的特征值与特征向量
12、.其中方阵的特征值与特征向量2009.7.229解之得,x1=x2=0,x3为任意实数矩阵A属于λ1=2的全部特征向量于是相应的特征向量可取p1=(0,0,1)Tk1p1=k1(0,0,1)Tk1≠0为任意实数方阵的特征值与特征向量2009.7.2210解之得,x1=-x3,x2=-2x3矩阵A属于λ2=λ3=1的全部特征向量于是相应的特征向量可取p1=(-1,-2,1)T当λ2=λ3=1时,有(A-E)x=0k2p2=k2(-1,-2,1)Tk2≠0为任意实数方阵的特征值与特征向量2009.7.2211例3求A的特征值与特征向量．解A的特征多项式得A的特征值λ1=-1,λ2=
13、λ3=2当λ1=-1时,有(A+E)x=0方阵的特征值与特征向量2009.7.2212解之得,x2=0,x1=x3为任意实数矩阵A属于λ1=-1的全部特征向量于是相应的特征向量可取p1=(1,0,1)Tk1p1=k1(1,0,1)Tk1≠0为任意实数方阵的特征值与特征向量2009.7.2213解之得-4x1+x2+x3=0矩阵A属于λ2=λ3=2的全部特征向量于是相应的特征向量可取p2=(0,1,-1)T,p3=(1,0,4)T当λ2=λ3=2时,有(A-2E)x=0k2p2+k3p3=k2(0,1,-1)T+k3(1,0,4)Tk2k3≠0为任意实数方阵的特征值与特征向量20
14、09.7.2214例4n阶方阵A为奇异矩阵的充要条件是A有一个特征值等于0.证明必要性若A为奇异矩阵,则
15、A
16、=0,于是有
17、0I-A
18、=(-1)n
19、A
20、=0,故0是A的一个特征值.若0是A的一个特征值,其相应的特征向量x,充分性由定义知Ax=0x=0,因特征向量x≠0,要使齐次线性方程组Ax=0有非零解,则需要
21、A
22、=0,即A为奇异.方阵的特征值与特征向量2009.7.2215例5证明若λ是矩阵A的特征值,x是A的属于证明再继续施行上述步骤m-2次,就得λ的特征向量,则有(1)λm是Am的特征值(m是任意常数)故λm是Am的特征值,且x是Am属于λm的特征向量.(2)当
23、A
24、≠
25、0时,则λ-1是A-1的特征值.方阵的特征值与特征向量2009.7.2216故λ-1是A-1的特征值,且x是A-1属于λ-1的特征向量.(2)若
26、A
27、≠0时,则A可逆,于是知A的特征值λ≠0.方阵的特征值与特征向量2009.7.2217二、特征值和特征向量的性质方阵的特征值与特征向量性质1设λ0是A的特征值,则kλ0是kA的特征值证明若λ0是A的特征值,则x≠0于是kλ0是kA的特征值.2009.7.2218方阵的特征值与特征向量性质2设λ0是A的特征值,且
28、A
29、≠0,则λ-1是A-1的证明
