方阵的特征值与特征向量1

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1、第五章方阵的特征值与特征向量§5.3实对称矩阵的对角化§5.2相似矩阵§5.1方阵的特征值与特征向量§5.4应用举例1§5.1方阵的特征值与特征向量主要内容:一.特征值特征向量的定义二.特征值与特征向量的性质2引言矩阵的特征值理论在许多领域都有重要的应用。如：◆工程技术中的振动问题和稳定性问题;◆经济管理中的主成分分析(PCA);◆数学中的微分方程组求解和迭代法的收敛性;◆图像(信息)处理中的压缩存取.其本质就是:对于一个给定的n阶矩阵A,如果存在的话，如何找Ｘ？3定义:设A是n阶方阵,如果数和n维

2、非零列向量x满足则称为A的特征值,非零向量x称为A的对应于(或属于)特征值的特征向量。把(1)改写为使得(2)有非零解(2)的所有非零解向量都是对应于的特征向量.是A的特征值一.特征值特征向量的定义4称为A的特征多项式，而称为A的特征方程。由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有n个根(重根按重数计算)。因此，n阶方阵在复数范围内恰有n个特征值。本章关于特征值、特征向量的讨论永远约定在复数范围内.5设n阶方阵特征值为,则又二.特征值与特征向量的性质6例1求矩阵的特征值.两个特征值为问:特征向量是实

3、的还是复的?由定义很容易验证：7例2求A的特征值.因此,n个特征值为问：对角矩阵,下三角矩阵的特征值为多少？8例3求矩阵A，B的特征值和所有的特征向量?解（对于矩阵A）9A的特征值为对于，解方程组同解方程组为，令，得基础解系因此，对应于特征值的所有特征向量为10对于，解方程组同解方程组为，令得基础解系因此，对应于特征值的所有特征向量为11(对于矩阵B)B的特征值为12对于，解方程组同解方程组为，令，得基础解系因此，对应于特征值的所有特征向量为13对于，解方程组同解方程组为，令，得基础解系因此，对应于

4、特征值的所有特征向量为14２．求方阵Ａ的特征值与特征向量的方法和步骤如下：其非零的通解为Ａ对应于从以上例子可看到：１．当一个矩阵Ａ的特征值为重根时，对应的线性无关的特征向量的个数不一定等于重根数15回答问题：(1)向量满足,是A的特征向量吗？(2)实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗?(3)矩阵A可逆的充要条件是所有特征值______。，A有一个特征值为______。(4)，A有一个特征值为______。可逆,A的特征值一定不等于______。(5)A的特征值与的特征值有什么关系？不是不一定全不为

5、零相等16(6)一个特征值对应于几个特征向量?一个特征向量对应几个特征值?(7)A的各行元素之和均等于2,则A有一个特征值是___,它对应的特征向量是______。特征向量的个数=____。是的一个特征值，它对应的最大无关的只对应一个217例5设是方阵A的特征值,对应的一个特征向量证明(1)是kA的特征值，对应的特征向量仍为x。(2)是的特征值，对应的特征向量仍为x。(3)当A可逆时，是的特征值，对应的特征向量仍为x。证18推广：设是方阵A的特征值，则是的特征值。的特征值。如果A可逆，则的特征值。是

6、是思考：19例6设3阶矩阵A的三个特征值为求解A的特征值全不为零，故A可逆。的三个特征值为计算得因此，20定理．设是方阵A的m个特征值,依次是与之对应的特征向量,证明:两边左乘A得:设为C21证明A的特征值只能取1或2.设是A的特征值，则的特征值为由于是零矩阵，其特征值全是零，故证例7所以书165引理22小结:主要介绍了特征值与特征向量的定义;如何求特征值与特征向量;特征值与特征向量的性质.23作业:24第五章方阵的特征值与特征向量§5.3实对称矩阵的对角化§5.2相似矩阵§5.1方阵的特征值与特征

7、向量§5.4应用举例25§5.2相似矩阵矩阵的相似关系可简化矩阵的计算,简化线性微分方程组,不仅在理论中起重要作用,在实践中也有广泛的应用.主要内容:一.矩阵相似的定义二.相似矩阵的性质三.矩阵可对角化的充要条件26§5.2相似矩阵设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似。对A进行运算称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。定义特别地，如果A与对角矩阵相似，则称A是可对角化的。一.相似矩阵的定义27二.相似矩阵的性质(1)相似关系是一种等

8、价关系;(2)A与B相似,则r(A)=r(B);(3)A与B相似,则;从而A与B有相同的特征值;(4)A与B相似,则;(6)A与B相似,则与相似;其中(7)A与B相似,且A可逆,则与相似。(5)A与B相似,则;28例1(1)与相似，求x与y和A的特征值。(2)与相似，求a与b。解(1)A的特征值等于B的特征值为：29(2)30三.矩阵可对角化的充要条件说明：如果A可对角化，它必有n个线性无关的特征向量，就是P的n个列；反之，如果A有n个线性无关的特征向量，把它拼成矩阵