方阵的特征值与特征向量(I)

《方阵的特征值与特征向量(I)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二节方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念二、特征值与特征向量的求法三、特征值与特征向量的基本性质特征值与特征向量工程技术中的振动问题和稳定性问题，及在经济理论和应用中的一些问题，往往可归结问求一个方阵的特征值和特征向量问题。特征值和特征向量不仅在理论上很重要，而且可直接用来解决实际问题。定义1一、特征值与特征向量的概念使方程的一个特征值,相应的非零向量设方阵成立数和n维非零列向量则称数为对应的特征向量.称为的与（1）式也可写成即（2）式说明特征向量X的坐标是齐次方程（2）的非零解。（1）式也可写成即是齐次方程（3）的非零解。因为X为非零向量

2、，则（3）有非零解设是方阵的对应于特征值的线性无关的特征向量,则是不全为零的常数)也是的对应于特征值的特征向量.定理1证明因为所以已知线性无关，不全为零，是的对应于特征值的特征向量。所以，故二、方阵的特征值和特征向量的求法设称含参数的矩阵为的特征矩阵,(的次多项式)为的特征多项式,称为的特征方程.称该矩阵的行列式定义2数是方阵的特征值非零向量为A的对应于的特征向量的充要条件是是齐次方程组的非零解。定理2方阵的特征值和特征向量的求法：1、求出A的全部特征值，即求的全部根。2、求出A的全部特征向量，的基础解系则属于特征值的S个线性无关的特征向量。即求齐次方程

3、组即对每一个特征值解出齐次方程组的全部非零解就是方阵A的阶方阵为可逆矩阵，一个特征值。例2是的解的一个特征值与特征已知相应的特征向量为X。求向量。因为A可逆，所以λ不为零，从而是故的一个特征值。对应的特征向量仍为X。由于所以是的一个特征值。例3求方阵的特征值与特征向量。第一步：求特征值解第二步：解方程,求基础解系，写出全部特征向量。X为对应的特征向量。时的全部特征向量为当得同解方程组令基础解系为当时解(k1任意实数）时得同解方程组令基础解系为时的全部特征向量为当解(k2任意实数）得同解方程组令基础解系为时的全部特征向量为时当解(k3任意实数）例4求的特征

4、值与特征向量。解的特征值（二重），得基础解系为解方程的全部特征向量为得基础解系为解方程的全部特征向量为三、特征值与特征向量的基本性质n阶方阵A与它的转置方阵AT有相同的特征值。证明则得到A与AT有相同的特征多项式，则它们的特征值相同。性质1性质2实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交。即设是实对称矩阵A的两个不同的特征值，是A的分别对应于的特征向量，则性质3设是阶矩阵的两个不同特征值，是对应于的线性无关特征向量，是对应于的线性无关特征向量，则线性无关。性质4个特征值为则推论1n阶方阵A可逆的充要条件是A的n个特征值全不为零。设的特征向量，是实对称矩阵，

5、是其特征值，是例5：求的特征向量。解设由性质2，解得基础解系则是的全部特征向量。的特征向量是‘作业P24011，323