方阵的特征值与特征向量课件.ppt

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1、§4.2方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念二、特征值与特征向量的求法三、特征值与特征向量的性质提示定义设A是n阶矩阵如果数和n维非零列向量x使成立Axx那么数称为方阵A的特征值非零列向量x称为方阵A的对应于特征值的特征向量AxxAxEx(AE)x0齐次方程(AE)x0有非零解

2、AE

3、0一、特征值与特征向量的概念注(1)特征向量x≠0,特征值问题是针对方阵而言的.(2)由Axx知,A作用非零向量x后x→x,即x变为原来的倍.特征值的求法

4、AE

5、0的根，就

6、是方阵A的特征值.特征多项式与特征方程设A为n阶方阵则称的n次多项式f()

7、AE

8、为方阵A的特征多项式称

9、AE

10、0为方阵A的特征方程二、特征值与特征向量的求法特征向量的求法齐次方程(AE)x0的非零解x，就是方阵A的对应于特征值的特征向量提示Axx(AE)x0齐次方程(AE)x0有非零解

11、AE

12、0特征值的求法

13、AE

14、0的根，就是方阵A的特征值.特征值与特征向量的求解步骤设A为n阶方阵(1)

15、AE

16、0=>A的特征值i.二、特征值与特征向量的求法特征向量的求法齐次

17、方程(AE)x0的非零解x，就是方阵A的对应于特征值的特征向量(2)(AiE)x0=>非零解x=pi就是A的对应于特征值i的特征向量.特征值的求法

18、AE

19、0的根，就是方阵A的特征值.二、特征值与特征向量的求法特征向量的求法齐次方程(AE)x0的非零解x，就是方阵A的对应于特征值的特征向量特征值的求法

20、EA

21、0的根，就是方阵A的特征值.例2.1求矩阵的特征值和特征向量解A的特征多项式为所以A的特征值为12231得基础解系p1(001)T对于12解方程(A2E)x0

22、即所以kp1(k0)是对应于12的全部特征向量例2.1求矩阵的特征值和特征向量解A的特征多项式为所以A的特征值为12231得基础解系p2(121)T得基础解系p1(001)T对于12解方程(A2E)x0所以k1p1(k10)是对应于12的全部特征向量对于231解方程(AE)x0所以k2p2(k20)是对应于231的全部特征向量例2.2求矩阵的特征值和特征向量解A的特征多项式为所以A的特征值为11232得基础解系得基础解系p1(

23、101)T对于11解方程(AE)x0所以对应于11的全部特征向量为kp1(k0)对于232解方程(A2E)x0所以对应于232的全部特征向量为k2p2k3p3(k2,k3不同时为0)p2(011)Tp3(104)T性质2.1n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征多项式，自然有相同的特征值.三、特征值与特征向量的性质性质2.2设n阶矩阵A(aij)的特征值为12n则(1)12na11a22ann(2)12

24、n

25、A

26、证

27、ATE

28、=

29、AE

30、.=

31、(AE)T

32、=

33、AT(E)T

34、性质2.1设n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征多项式，自然有相同的特征值.证

35、ATE

36、=

37、AT(E)T

38、=

39、(AE)T

40、=

41、AE

42、.三、特征值与特征向量的性质性质2.2设n阶矩阵A(aij)的特征值为12n则(1)12na11a22ann(2)12n

43、A

44、注:A的所有特征值的和,称为A的迹,记作tr(A).例2.3方阵A是奇异矩阵方阵A至少有一个特征值是0

45、.方阵A是可逆矩阵方阵A没有0特征值.0

46、A

47、

48、A－0E

49、性质2.1设n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征多项式，自然有相同的特征值.证

50、ATE

51、=

52、AT(E)T

53、=

54、(AE)T

55、=

56、AE

57、.三、特征值与特征向量的性质性质2.2设n阶矩阵A(aij)的特征值为12n则(1)12na11a22ann(2)12n

58、A

59、(2008,数学2）设3阶矩阵A的特征值为,2,3,若

60、2A

61、=48，则=___.1例2.4设是方阵A的特征值证明(1)

62、2是A2的特征值(2)k+l是kA+lE的特征值,其中k,l为实数(3)若A可逆,则1是A1的特征值证因为是A的特征值故有p0使App于是(1)A2