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1、对函数的相关概念及性质分析对函数的相关概念及性质分析对函数的相关概念及性质分析对函数的相关概念及性质分析 导读:绝对值函数是个很广的概念,可分为两大部分,一部分是绝对值施加在X上的,另一部分是绝对值号施加在Y上的,如y=
2、x
3、
4、y
5、=x就记住绝对值号在谁上头就把原图像根据哪一个轴做轴对称变换,记住这一点,不管多复杂的解析式都可以照此办理.绝对值函数可以看作初等函数。3.1导数,是微积分中的重要基础概念。 关键词:函数,概念,性质 首先是初等函数相关问题分析: 1.绝对值函数的概念及性质 绝对值函数是个很广的概念,可分为
6、两大部分,一部分是绝对值施加在X上的,另一部分是绝对值号施加在Y上的,如y=
7、x
8、
9、y
10、=x就记住绝对值号在谁上头就把原图像根据哪一个轴做轴对称变换,记住这一点,不管多复杂的解析式都可以照此办理.绝对值函数可以看作初等函数。 1.1绝对值函数的定义域,值域,单调性 例如f(x)=a
11、x
12、+b是 定义域:即x的取值集合,为全体实数; 值域:不小于b的全体实数 单调性:当x<0,a>0时,单调减函数; >>增; <<增; <<减; 1.2绝对值函数图象规律:
13、f(x)
14、将f(x)在y轴负
15、半轴的图像关于x轴翻折一下即可,在y轴正半轴的图像不变。 f(
16、x
17、)将f(x)在x轴负半轴的图像关于y轴翻折一下即可,在x轴正半轴的图像不变。。 1.3带绝对值的函数求导,即将函数分段。 2.取整函数的概念与性质 2.1取整函数是:设x∈R,用[x]或int(x)表示不超过x的最大整数,并用"{x}"表示x的非负纯小数,则y=[x]称为取整函数,也叫高斯函数。任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和,即:x=[x]+{x},其中{x}∈[0,+∞)称为小数部分函数。 2.2取整函数的性质:a对任意x∈R,均有x-
18、1<[x]≤x<[x]+1.b对任意x∈R,函数y={x}的值域为[0,1).c取整函数(高斯函数)是一个不减函数,即对任意x1,x2∈R,若x1≤x2,则[x1]≤[x2].d若n∈Z,x∈R,则有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一个以1为周期的函数.e若x,y∈R,则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.f若n∈N+,x∈R,则[nx]≥n[x].g若n∈N+,x∈R+,则在区间[1,x]内,恰好有[x/n]个整数是n的倍数.h设p为质数,n∈N+,则p在n!的质因数分解式中的幂次为p(n!)=
19、[n/p]+[n/p^2]+… 3.导数的概念与性质 3.1导数,是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。导数另一个定义:当x=x0时,f‘(x0)是一个确定的数。这样,当x变化时,f'(x)便是x的一个函数,我们称他为f(x)的导函数(简称导数)。 3.2求导数的方法 (1)求函数y=f(x)在x0处导
20、数的步骤:①求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);②求平均变化率;③取极限,得导数. (2)几种常见函数的导数公式:①C'=0(C为常数函数);②(x^n)'=nx^(n-1)(n∈Q);③(sinx)'=cosx;④(cosx)'=-sinx;⑤(e^x)'=e^x;⑥(a^x)'=a^xlna(ln为自然对数);⑦(Inx)'=1/x(ln为自然对数;⑧(logax)'=(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1). 补充:上面的公式是不可以代常数进去的,只能代函数,新学导数的人往往忽略这一点,造成歧义,要多加注意。
21、 (3)导数的四则运算法则:①(u±v)'=u'±v';②(uv)'=u'v+uv';③(u/v)'=(u'v-uv')/v^2. (4)复合函数的导数 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。 4.高等函数的概念以及含义问题 4.1一元微分 1)一元微分是设函数y=f(x)在x.的邻域内有定义,x0及x0+Δx在此区间内。如果函数的增量Δy=f(x0+Δx)?f(x0)可表示为Δy=AΔx+o(Δx)(其中A是不依赖于Δx的常数),而o(Δx0)是比
22、Δx高阶的无穷小,那么称函数f(x)在点x0是可微的,且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy=AΔx。 通常把自变
