期末复习习题课2高数.doc

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1、第14次习题课一、常系数线性ODE习题9.53(7)解方程解：(1)解特征方程得：于是对应齐次方程的基础解系为(2)设一个特解为代入(a)后，解得：(3)设一个特解为代入(b)后，解得：(4)综上，原方程的通解是习题9.62、解方程解:(1)解特征方程得：于是对应齐次方程的基础解系为(2)设原方程的一个特解为：由解得：从而(3)综上，原方程的通解是问(请1班或3班回答)：你怎样解？总结：二阶常系数ODE求解步骤：Step1如果没有y，降阶！Step2通过特征方程解齐次方程的基础解系：Step3求原方程的特解(3.1)如果右端项是形式的和（是n次多项式），拆分，分别用待定系数法：如

2、基础解系中未出现（b=0时仅为），则设。如基础解系出现而未出现（b=0时，出现而未出现），则设(3.2)对一般的右端项，用常数变易法：设特解形式为则Step4合成通解。Step5如果降了阶，积分还原。二、变系数线性ODE（Euler方程和幂级数法）习题9.65(方法1：Euler方程一般解法)解：设先考察x>0的情况，设，即，则(自己试推)代入原方程得：解得当x=0时，y=0。当x<0时，令，则原方程可化为形式和原方程一致，于是综合起来，原方程通解为(方法2：幂级数法)解：设，则，，将它们代入原方程，得：于是即由此可见没有限制而其余系数均为0，因此原方程通解为三、数项级数与广义积

3、分收敛性判别级数广义积分预处理：无找出所有瑕点，逐一分析瑕点及，(如果出现的话)1、直接求部分和直接求部分积分2、通项不收敛于0，则…f(x)在处收敛于非0的数，则…（注：f在处哪怕无界，仍有可能收敛，为什么？）3、通项恒正(负)：比较判别法(估阶或放缩)、达朗贝尔判别法、柯西判别法、柯西积分判别法（最后考虑，条件？）比较判别法(估阶或放缩)、柯西积分判别法、分段变成级数(f非负时，积分与级数同时收敛或发散，柯西积分判别法)4、绝对收敛吗？（用3）绝对收敛吗？（用3）5、阿贝尔和狄利克雷判别法（单调项与求和项，一个收敛，一个有界）（特例：莱布尼茨判别法）阿贝尔和狄利克雷判别法（单

4、调项与求积项，一个收敛，一个有界）6、柯西收敛准则柯西收敛准则注：广义积分分段变成级数的规则：一般级数收敛推不出积分收敛，级数发散可推出积分发散。但当f非负或非正时，积分与级数同时收敛或发散。习题10.22(2)是否收敛？解：(方法1)，于是级数发散。(方法2：达朗贝尔判别法)习题10.22(9)是否收敛？解：记，这是正项级数。(方法1：比较判别法)由于故而收敛，故原级数收敛。(方法2：柯西判别法)由于故原级数收敛。(方法3：达朗贝尔判别法)由于故原级数收敛。习题10.31(10)是否收敛？如收敛，是条件收敛还是绝对收敛？观察：不难发现，n充分大时，该级数一定正负交错。解：(1)

5、原级数可改写成其中注意到单调递减趋于0，于是当k充分大时，单调递减趋于0。从而原级数收敛。(2)由于而发散，于是原级数条件收敛。习题10.31(11)是否收敛？如收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：(1)记由可知单调递减。由可知。(2)由于而发散，故原级数条件收敛。习题10.34是否收敛？如收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：(1)由于单调递增且，下面只要证明收敛即可。由于单调递减趋于0，而于是收敛，从而原级数收敛。(2)当p>1时，故原级数绝对收敛。当且时，由于，由刚才的结论知收敛。又由可知：发散。故发散，从而原级数条件收敛。当且时，从而原级数条件收敛。综上，当p>1时原级数绝对收

6、敛；当时原级数条件收敛。习题11.14(2)是否收敛？如收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：原积分无暇点。由于原级数绝对收敛。习题11.13(6)是否收敛？如收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：(1)原积分无暇点。由于单调递减且，而（对吗？）于是原积分收敛。(2)(方法1：比较判别法)当x>1时，类似于(1)，易证收敛，而发散，故发散，从而原积分条件收敛。(方法2：化成级数)考察由于级数()发散，故原积分发散。四、函数项级数与含参广义积分一致收敛性判别函数项级数含参广义积分(无暇点)1、余项一致收敛于0的充要条件:Sup的上界:由可得级数收敛。Sup的下界:由可得级数发散。余项一致收

7、敛于0的充要条件:Sup的上界:由可得级数收敛。Sup的下界:由可得级数发散。2、通项不一致收敛于0，则…无3、M-判别法(消去参数x)M-判别法(消去参数x)4、阿贝尔和狄利克雷判别法阿贝尔和狄利克雷判别法（单调项与求和项，一个一致收敛，一个一致有界）（单调项与求积项，一个一致收敛，一个一致有界）5、连续而不连续，则不一致收敛。f二元连续而不连续，则不一致收敛。6、柯西收敛准则：柯西收敛准则：注：1、瑕点积分情况类似。2、余项和柯西收敛准则提供充要条件；M-判别法、阿贝尔和狄利