《线性代数》第6章习题解答.doc

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1、1.2.已知向量空间的一个基为α1=（110）T，α2=（101）T，α3=（011）T，试求α=（200）T在上述基下的坐标。解.设α=，=-1=所以=-1α==2．验证α1=（1-10）T，α2=（213）T，α3=（312）T为R3的一个基，并把α=（507）T，β=（-9-8-13）T用这个基线性表示。解.设=，==-6≠0所以α1，α2，α3为R3的一个基。设α=，β=由=→得α===2α1+3α2-α3，又有=→得β===3α1-3α2-2α3。3.下列n阶方阵的集合，关于矩阵的加法和数乘矩阵两种运算是否构成线性空间？（1）n阶对称矩阵全体所成之集合S；（2）n阶可逆

2、矩阵全体所成之集合R；（3）主对角线上各元素之和等于零的n阶矩阵全体所成之集合T。解.（1）S构成线性空间。因为A，B，C∈S，λ，μ∈R，A+B∈S，λA∈S且满足1°.A+B=B+A2°（A+B）+C=A+（B+C）3°零元素为0，满足0+A=A4°负元素为-A，使A+（-A）=05°1A=A6°λ（μA）=（λμ）A7°λ（A+B）=ΛA+ΛB8°（λ+μ）A=λA+μA（2）R不构成线性空间，因为若A∈R，但0A=O不可逆，即R关于数乘法不封闭。（3）T构成线性空间，因为T关于加法和数乘法封闭，并且满足8°性质。4．下列集合对指定的运算是否构成实数域上的线性空间？（1）设

3、λ0是n阶方阵A的特征值，A对应于λ0的特征向量所成之集合，关于向量的加法和数乘向量两种运算；（2）微分方程的全体解所成之集合，关于函数相加和数乘函数两种运算；（3）微分方程的全体解所成之集合，关于函数相加和数乘函数两种运算；（4）R3中与向量（0，0，1）T不平行的全体向量所成之集合，关于R3中向量的线性运算。解.（1）不构成线性空间，因为此集合不含零向量；（2）构成线性空间，由齐次线性微分方程解的性质得证；（3）不构成线性空间，由非齐次线性微分方程解的性质得证；（4）不构成线性空间，关于向量的加法和数乘向量两种运算不封闭。5．检验以下集合对于所给的运算是否是实数域R上的线性空

4、间。令S={（a，b）

5、a，b∈R}，对于运算：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d+ac）k（a，b）=（ka，kb+）解。显然集合S对于上述两种运算是封闭的，并且加法运算显然满足交换律，结合律，零元素为（0，0），对于任意元素（a，b）的负元素为（-a，-b+a2）。对于数乘的4条运算规律易验证也成立。所以S构成一个线性空间。6．求实数域R上的全体2阶对称（反对称，上三角，下三角）矩阵所成的线性空间的一个基和维数。解.全体2阶对称矩阵的线性空间的一组基为，，其维数为3；全体2阶反对称矩阵的线性空间的一组基为其维数为1；全体2阶上三角矩阵的线性空间的一组基为，，其维数为3；

6、全体2阶下三角矩阵的线性空间的一组基为，，其维数为3。7．设A=，求线性空间S（B）={B∈M3×3

7、AB=0}的一个基和维数。解.设B=（bij）则AB=0时，B=，所以S的一个基为，，，其维数为3。8．在R3中，求向量α=（3，7，1）T关于基α1=（1，3，5）T，α2=（6，3，2）T，α3=（3，1，0）T的坐标解.设α=，==所以=。9．在所有实对称二阶方阵所成的线性空间S2中，求它的一个基，并写出矩阵关于这个基的坐标。解.S2的一个基为，，，则矩阵在这个基的坐标为（3，-2。1）T。10．已知四维线性空间中的两个基为α1，α2，α3，α4，和β1，β2，β3，β4，

8、且β1=α1+α2+α4β1=2α1+α2+3α3+α4β1=α1+α2β1=α2-α3-α4求α4关于基β1，β2，β3，β4的坐标。解.由已知（β1β2β3β4）=（α1α2α3α4），知（α1α2α3α4）=（β1β2β3β4）=（β1β2β3β4）所以α4=（α1α2α3α4）=（β1β2β3β4）=即α4在基β1β2β3β4的坐标为。11．已知R3中的两个基为α1=（1，1，1）T，α2=（0，1，1）T，α3=（0，0，1）T；β1=（1。0。1）T，β2=（1，1，0）T，β3（0，1，1）T，求向量α=2α1+4α2关于基β1，β2，β3的坐标。解.已知（α1α2

9、α3）=（ε1ε2ε3），（β1β2β3）=（ε1ε2ε3）则α=（α1α2α3）=（ε1ε2ε3）=（β1β2β3）=（β1β2β3）=（β1β2β3）。12．在R4中取两个基，一个为标准基ε1，ε2，ε3，ε4，另一个为α1=（2，1，-1，1）T，α2=（0，3，1，0）T，α3=（5，3，2，1）T，α4=（6，6，1，3）T。（1）求由基ε1，ε2，ε3，ε4到基α1，α2，α3，α4的过渡矩阵；（2）求向量α=（x1，x2，x3，x4）T关于基α1，α2，α3，α4的