《线性代数》习题解答

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1、线性代数习题解答教材：段正敏，颜军，阴文革:《线性代数》，高等教育出版社，2010。张应应胡佩2013-3-1目录第一章行列式1第二章矩阵22第三章向量组的线性相关性50第四章线性方程组69第五章矩阵的相似对角化91第六章二次型114附录：习题参考答案129142第一章行列式1．填空题：（1）3421的逆序数为5；解：该排列的逆序数为.（2）517924的逆序数为7；解：该排列的逆序数为.（3）设有行列式=，含因子的项为-1440，0；解：所以含因子的项为-1440和0.（4）若阶行列式；解：行列式中每一行可提出一个公因子，.（5）设，则的根为1，2，-2；解：是一个Vandermonde

2、行列式，的根为1，2，-2.（6）设是方程的三个根，则行列式0；解：根据条件有142比较系数可得：，再根据条件得：原行列式.（7）设有行列式=0，则=1，2；解：.（8）设，则多项式中的系数为0；解：按第一列展开，中最多只含有项，含有的项只可能是不含项，中的系数为0.（9）如果=0，则=2；解：142.（10）=-abcd；解：将行列式按第一行展开：.（11）如果=1，则=1；解：.（12）如=2，则=-16，=-4，=-4；解：142.（13）设阶行列式=，且中的每列的元素之和为，则行列式中的第二行的代数余子式之和为=；解：实际上，由上述证明过程可知任意行代数余子式之和.（14）如果=1

3、，则=-1，=；解：令，则142.（15）设有行列式，则元素的余子式=，元素2的代数余子式=；（16）设=，的代数余子式，则0；解：方法一：可看成中第一列各元素与第四列对应元素代数余子式乘积之和，故其值为0.方法二：.（17）设=，的代数余子式，则0；142解：.（18）设，则的系数为6；解：方法一：方法二：只有一项非0综上所述：的系数为6.（19）设，且142，则=；解：方法一：令，则,证明：根据行列式性质2和5，将行列式变成下三角行列式，得到：行列式、的变换和行列式的变换完全相同，得到：142分别将、第一次按第一行展开（变成第一行），第二次按第二行展开（变成第一行），……，总共进行m次

4、第一行展开，得到：；证毕.方法二：设，，其中：那么：142中依次与对换，使得在下面；依次与对换，使得在下面，在上面；……依次与对换，使得在下面，在上面；总共进行了次对换。得到：.（20）==.解：同理可得：，，则.2．选择题142（1）设多项式=，则多项式的次数为（）（）2（）3（）4（）5解：方法一：多项式次数为3；方法二：多项式次数为3；注意：实际上方法一与方法二思想类似：利用行列式展开定理对行列式降阶，最后求出行列式的值（多项式）.方法三：这四项的最高次项分别为：，，，142多项式次数为3.（2）设为实数且=0，则（）（）（）（）（）解：.（3）设多项式=，则多项式的次数最多为（）（

5、）1（）2（）3（）4解：设，，则142的次数最多为1.（4），当=（）时，0.（）3（）4（）5（）7解：当时，，选.142（5）为四阶行列式的第列，（=1，2，3，4，），且=，则下列行列式中，等于的是（）.（）（）（）（）解：（）（）方法一：方法二：（）（）1423．计算下列行列式（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8）.解：（1）142（2）（3）（4）（5）（6）方法一：142方法二：（7）（8）方法一：考虑新的行列式，则，即为的系数，因为将按最后一列展开时，即为的系数所在项，而由为范德蒙行列式知：因此有：142方法二：注：此方法的因式分解有点难！4．计算下

6、列阶行列式（1）；（2），（即）；（3）；142（4），其中未写出元素为零；（5），其中未写出元素为零.解：（1）（2）方法一：142方法二：（3）（4）142（5）其中：5．证明（1）若行列式中每一个数，则所得行列式与相等；（2）；（3）证明（1）142（2）（3）6．证明第三节推论4.证明：设的两行元素对应成比例，则.7．证明第三节性质4.142证明：证毕.8．证明上三角行列式等于对角线上元素的乘积.证明：，由行列式的定义知，第一列只有为非零元，而第二列除第一行外，只有为非零元，同理依次进行.则，其中为逆序数，为0，.证毕.第一章矩阵1．填空题（1）已知=，则=0；-3.解：.（2）设

7、则=.解：，，.142（3）若均为3阶方阵，且，，则-16.解：.（4）为3阶方阵，且=2，=，则=6.其中分别为的1、2、3行.解：.（5）已知=（1，1，1），则

8、

9、=0.解：.（6）设=满足，则.解：两边取行列式得：，，.（7）设=，则=.解：，，，，，，142（8）设矩阵的秩为2，则3.解：由的秩为2，则的所有3阶子式为0.（9）设矩阵，且，则-3.解：由知，即若，则，，与已知矛盾，故；若，则，，因为有一个三阶子