线性代数习题册参考解答

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1、第一章行列式1、求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。(1)1347265；(2)m(m_1)・・・321。【解】(1)「(1347265)=0+0+0+0+3+1+2=6,偶排列；(2)订〃0_1)・・・321]=0+]+2+・・・+(刃_1)=。2当〃=4R,4R+1时，"(罕1)=2狀4R—1),2P(4P+1)为偶数,即为偶排列;当〃=4R+2,4R+3时，一°二(2R+l)(4k+1),(2k+l)(4k+3)为奇数，即为奇排列。■2、用行列式定义计算2x1XX112-1f(x)=32X1111X中兀4和/的系数，并说明理由。【解】由行列式定义可知：含F

2、有的项只能是主对角线元素乘积，故/的系数为2；含有，的项只能是(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)的元素乘积项，而&(2134)=0+1+0+0二1,故/的系数为-1・・2-5123、求Z)4=-37-145—9274-612【解】三角化法:2-5121-5221-522-12066“302-16r2<->r30113d4==—=r^2r1103011302-16几+q1106011601162111211111112422少212111211=24=1203363少311211121"4444811121112【解】性质（三角化法）+行和相等的行列式:

3、111/*3-2厂21000-51001-302303-9o■223412641238rk~r120o■=120“2,3,41001x{一m【解】观察特点：行和相等。…xn-m各列均加到第一列1Ci+“+・・・+O吕f=lArx2-mxXn~mck~xkc吕=(工/=!Xj一m)-m=（£兀_加）（一加）/=1-m011…11%0…010a2…0•••1•••0•••0••••••…an1其中axa1*-an工0。6、求D“+]=【解】箭形行列式（爪形行列式）：利用对角线上元素将第一行（或列）中元素1化为零。为此，第一列减去第R列的丄（"2,3,…/）可得:-

4、工—0a20【解】降阶法。-231000c2+2c

5、1511C】134113170011141741533扌竺S甌4=(a}a4-b}b4)(a2a3-b2b3)。（叩4_物）=140+3+3—12—5—21=108。■a】00a.0b。b8、求Q=*z0b3a3000【解】法1（性质法+拉普拉斯公式）b000逐列D=00a2b2逐行00对换00sa300b2b40000b3=（叽~bM（a2a3一优〃3）a2b200a2b2D=axb3ci.0+也(-1)屮0h35，00°4b400法2（降阶法）按第一行展开可得:再各按最后一行展开可得:a2$b2•/>—

6、IM—9••=Cl^X+兀〜+•••++ClnoX—1a2ax【证】观察：相邻阶行列式具有“相似性”，为此，按第一列展开可得相邻阶行列式间的递推关系。数学归纳法：X(1)D2=—1=a{x+如n=2成立;%(ii)假设1成立，则由-1•・=xDn_x+an-1GXDn=xDn_i+(-ir[an可知：〃也成立，故得证。■10、已知4阶行列式12D=34322234323314243求血+血+血+如，其中血为》中亿2）元素的代数余子式（心1,2,3,4）。【解】由展开定理逆用和范德蒙行列式可得:11111111212223Cl<->c21222233132331332

7、33414243144243人12+绻+人32+“42=-(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4—3)=—12。■2Xj+ax2+。~兀3=d、11、解方程组<+hx2+h2x3=d,其中a,b,c互异。X]+cx2+c2x3=cl,【解'•:abc互异,1a・・・系数行列式D=b1ca1h21da21ad1db2=0,D3=1bd1d9L1cd=0odD,D?b2=(b-a)(c-a)(c-b)H0,c2于是，由克莱姆法则可知：原方程组有唯一解，且解为兀]=—=d，兀2=—=0,小==0o■D~DD12、当2取何值时，齐刺线性方程组加]+兀2+七

8、=0,求(1)2AB-3A2；(2)ABT；(3)丨一2如。<10-0<2-46、<30-3、【解】(1)2AB-3A2=A(2B-3A)=2141一260—6312]<-325丿<0104丿i—9615丿(10-1]-49、<-10-820、214-83-12=2611