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《线性代数习题册五解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、太原理工大学2010级《线性代数》练习册（五）一.判断题（正确打√，错误打×）1．若，则是的一个特征值.(×)解答：因为没有说明，所以错误.2．实对称矩阵的非零特征值的个数等于它的秩.(√)解答：因为实对称矩阵与对角矩阵相似（是的特征值），而的秩等于中非零数的个数,又因为相似矩阵秩相同,所以结论正确.3．二次型的标准形的系数是的特征值(×)解答：正确结论是：用正交变换化二次型为标准形的系数是的特征值.4.若线性无关且都是的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为的特征向量.(×)解答：虽然都是的特征向量，但他们不一定属于的同一个特征值，所以他们正交
2、化后不一定是特征向量.5．已知为阶矩阵，为维列向量，如果不对称，则不是二次型.(×)解答：对于任意的阶矩阵，都是二次型，只是若不要求对称，二次型中的不唯一.例如取，那么第10页太原理工大学2010级《线性代数》练习册（五），但取，仍得到此二次型.二．单项选择题1.若阶非奇异矩阵的各行元素之和均为常数，则矩阵有一个特征值为(C).(A)；(B)；(C)；(D).解答：因为阶非奇异矩阵的各行元素之和均为常数，所以，从而，所以是的一个特征值，所以是的一个特征值.2.若为四阶矩阵的特征多项式的三重根，则对应于的特征向量最多有(A)个线性无关.(A)3个；(B
3、)1个；(C)2个；(D)4个.解答：对应于特征值的线性无关特征向量的个数的重数.3.设为阶非零矩阵，并且，那么(C).(A)不可逆，不可逆；(B)不可逆，可逆；(C)可逆，可逆；(D)可逆，不可逆.解答：设为的任意一个特征值，那么是的特征值，但，所以，所以不是的特征值，所以、都可逆.5.设，则在实数域上与合同的矩阵为(D).(A)；(B)；(C)；(D).第10页太原理工大学2010级《线性代数》练习册（五）解答：方法1合同矩阵的行列式符号相同(,那么)，所以选(D).方法2,令,那么,而的矩阵就是,所以选(D).方法3的特征值是,而的特征值也是,
4、所以两个二次型可化为同一个标准型,所以与合同,所以选(D).三.填空题1.若为正定矩阵，且，则E.解答：因为为正定矩阵,所以,并且可逆，从而,即,所以.2.设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，，则的非零特征值为1.解答：方法1,而线性无关，所以矩阵可逆，所以，即与相似，所以的非零特征值为1.方法2因为，，所以0是的一个特征值.因为第10页太原理工大学2010级《线性代数》练习册（五），而，所以1是的一个特征值,而为2阶矩阵,所以的非零特征值为1.3.设3阶方阵的特征值互不相同，，则的秩2.解答：因为的特征值互不相同，所以与对角矩阵相似，所以等于的
5、非零特征值的个数,因为为3阶方阵,,所以的特征值是，、，所以.4.（2011年考研题）若二次曲面的方程经正交变换化为，则1.解答：由题知二次型的系数矩阵的特征值为，于是有，解得.5.（2011年考研题）设二次型的秩为1，的各行元素之和为3，则在正交变换下的标准型为解答：因为二次型的秩为1，所以非零特征值只有一个，由的各行元素之和为3，知3是的特征值，故在正交变换下的标准型为.6.（2011年考研题）二次型，则的正惯性指数为2.解答：方法1配方得，故正惯性指数为2.第10页太原理工大学2010级《线性代数》练习册（五）方法2求的特征值也可得正惯性指数为
6、2.7.设3阶矩阵的特征值为，则3.解答：因为的特征值为,所以的特征值为,所以的特征值为,所以四.计算题1.求矩阵的特征值与特征向量.解答：,所以特征值为，.对于,求得特征向量为,对于,求得特征向量为,其中是不为零的任意常数.2．求的特征值与特征向量.解答：因为,所以,.第10页太原理工大学2010级《线性代数》练习册（五）对应于:方程组即为,所以特征向量为,其中不全为零.对应于:因为,所以方程组即为,所以,其中.3.设与对角阵相似，求和应满足的条件.解答：容易求得的特征值为，，因为与对角阵相似当且仅当有3个线性无关的特征向量，所以对应于，应该有两个
7、线性无关的特征向量，所以，即,而第10页太原理工大学2010级《线性代数》练习册（五）,所以.4.（2011年考研题）设为3阶实对称矩阵，的秩为2，且.（1）求的特征值与特征向量;（2）求矩阵.解答：（1）由于的秩为2，故0是的一个特征值.由题设可得,所以，是的一个特征值，且属于的特征向量为，为任意非零常数；也是的一个特征值，且属于的特征向量为，为任意非零常数.设是的属于的特征向量，由于为实对称矩阵，则，即第10页太原理工大学2010级《线性代数》练习册（五）于是属于的特征向量为，为任意非零常数.（2）令，则，于是5．已知二次型的秩为2,（1）求参数
8、及此二次型对应矩阵的特征值；（2）指出方程表示何种曲面.解答：二次型的矩阵,因为，所以（或者由得）.于是第1
