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《线性代数课后习题解答第五章习题详解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第五章相似矩阵及二次型1．试用施密特法把下列向量组正交化：(1) ；(2) 解 (1) 根据施密特正交化方法:令，，，故正交化后得:．(2)根据施密特正交化方法:令;,故正交化后得2．下列矩阵是不是正交矩阵？并说明理由:(1) ;(2) ．解 (1) 第一个行向量非单位向量,故不是正交阵．(2)该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵．3.设x为n维列向量,xTx=1,令H=E-2xxT,证明H是对称的正交阵.证明因为HT=(E-2xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xT)TxT
2、=E-2xxT,56所以H是对称矩阵.因为HTH=HH=(E-2xxT)(E-2xxT)=E-2xxT-2xxT+(2xxT)(2xxT)=E-4xxT+4x(xTx)xT=E-4xxT+4xxT=E,所以H是正交矩阵.4．设与都是阶正交阵，证明也是正交阵．证明因为是阶正交阵，故，故也是正交阵．5．求下列矩阵的特征值和特征向量:(1);(2);(3).并问它们的特征向量是否两两正交?解(1) ① .故的特征值为．② 当时,解方程,由得基础解系所以是对应于的全部特征值向量．当时,解方程,由得基础解系所以是对应于的全部特征
3、向量．③ 故不正交．(2) ① .故的特征值为．② 当时，解方程，由56得基础解系故是对应于的全部特征值向量.当时,解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量当时，解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量．③ ，，，所以两两正交．(3) =,当时，56取为自由未知量，并令，设.故基础解系为当时，可得基础解系综上所述可知原矩阵的特征向量为6.设A为n阶矩阵,证明AT与A的特征值相同.证明因为
4、AT-lE
5、=
6、(A-lE)T
7、=
8、A-lE
9、T=
10、A-lE
11、,所以AT与A的特征多项式相同,从而AT与A的特征值相同.
12、7.设n阶矩阵A、B满足R(A)+R(B)n,故a1,a2,×××,an-r,b1,b2,×××,bn-t必线性相关.于是有不全为0的数
13、k1,k2,×××,kn-r,l1,l2,×××,ln-t,使k1a1+k2a2+×××+kn-ran-r+l1b1+l2b2+×××+ln-rbn-r=0.记g=k1a1+k2a2+×××+kn-ran-r=-(l1b1+l2b2+×××+ln-rbn-r),则k1,k2,×××,kn-r不全为0,否则l1,l2,×××,ln-t不全为0,而l1b1+l2b2+×××+ln-rbn-r=0,与b1,b2,×××,bn-t线性无关相矛盾.因此,g¹0,g是A的也是B的关于l=0的特征向量,所以A与B有公共的特征值,有公
14、共的特征向量.8.设A2-3A+2E=O,证明A的特征值只能取1或2.证明设l是A的任意一个特征值,x是A的对应于l的特征向量,则(A2-3A+2E)x=l2x-3lx+2x=(l2-3l+2)x=0.因为x¹0,所以l2-3l+2=0,即l是方程l2-3l+2=0的根,也就是说l=1或l=2.9.设A为正交阵,且
15、A
16、=-1,证明l=-1是A的特征值.证明因为A为正交矩阵,所以A的特征值为-1或1.因为
17、A
18、等于所有特征值之积,又
19、A
20、=-1,所以必有奇数个特征值为-1,即l=-1是A的特征值.10.设l¹0是m阶矩
21、阵Am´nBn´m的特征值,证明l也是n阶矩阵BA的特征值.证明设x是AB的对应于l¹0的特征向量,则有(AB)x=lx,于是B(AB)x=B(lx),或BA(Bx)=l(Bx),从而l是BA的特征值,且Bx是BA的对应于l的特征向量.5611.已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3,求
22、A3-5A2+7A
23、.解令j(l)=l3-5l2+7l,则j(1)=3,j(2)=2,j(3)=3是j(A)的特征值,故
24、A3-5A2+7A
25、=
26、j(A)
27、=j(1)×j(2)×j(3)=3´2´3=18.12.已知3阶矩阵A的特征值为1
28、,2,-3,求
29、A*+3A+2E
30、.解因为
31、A
32、=1´2´(-3)=-6¹0,所以A可逆,故A*=
33、A
34、A-1=-6A-1,A*+3A+2E=-6A-1+3A+2E.令j(l)=-6l-1+3l2+2,则j(1)=-1,j(2)=5,j(-3)=-5是j(A)的特征值,故
35、A*+3A+2E
36、=
37、-6A-1+3A+2E
38、=
39、j(A)
