线性代数课后习题解答第五章习题详解.docx

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1、第五章相似矩阵及二次型1．试用施密特法把下列向量组正交化：111111011(1)(a1,a2,a3)124；(2)(a1,a2,a3)011391110解(1)根据施密特正交化方法:1b1,a2b11b1,a3b1b2,a3b211令b1a11，b2a20，b3a32，1b1,b11b1,b1b2,b2311113故正交化后得:(b1,b2,b3)102．31113(2)根据施密特正交化方法:111令b1a10;b2a2b1,a2b113,b3a3b1,a3b1b2,a3b2131b1,b132b1,b1b2,b25311411135013故正交化后得(b1

2、,b2,b3)512335114352．下列矩阵是不是正交矩阵？并说明理由:11118423999(1)111;(2)814．2299911144732999解(1)第一个行向量非单位向量,故不是正交阵．(2)该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵．3设x为n维列向量xTx1令HE2xxT证明H是对称的正交阵证明因为HT(E2xxT)TE2(xxT)TE2(xxT)TE2(xT)TxTE2xxT.所以H是对称矩阵因为HTHHH(E2xxT)(E2xxT)E2xxT2xxT(2xxT)(2xxT)E4xxT4x(xTx)xTE4xxT4xxTE所

3、以H是正交矩阵4．设A与B都是n阶正交阵，证明AB也是正交阵．证明因为A,B是n阶正交阵，故A1T1TA，BBT(AB)(AB)BTATABB1A1ABE故AB也是正交阵．5．求下列矩阵的特征值和特征向量:11123a1213a20).(1)2;(2);(3)a1a2an,(a14336an并问它们的特征向量是否两两正交?解(1)①AE11(2)(3).故A的特征值为12,23．24②当12时,解方程(A2E)x0,由(A2E)11~11得基础解系P1122001所以k1P1(k10)是对应于12的全部特征值向量．当23时,解方程(A3E)x0,由(A3E)2

4、1~21得基础解系P21221001所以k2P2(k20)是对应于33的全部特征向量．[P,P]TP(1,1)130③2112P221故P1,P2不正交．123(2)①AE213(1)(9).336故A的特征值为10,21,39．②当10时，解方程Ax0，由.123~1231A213011得基础解系P113360001故k1P1(k10)是对应于10的全部特征值向量.当21时,解方程(AE)x0，由223~2231AE223001得基础解系P213370000故k2P2(k20)是对应于21的全部特征值向量当39时，解方程(A9E)x0，由18231112A9

5、E283~0111得基础解系P3233320001故k3P3(k30)是对应于39的全部特征值向量．1③[P1,P2]PT1P2(1,1,1)[P,P]1TP(1,1,1)13P3a12a1a2(3)AEa2a1a22ana1ana2n1a12a22an2ai2i1nai2时，当1i1a22a32an2AEa2a110，[P2,P3]PT2P3(1,1,0)101210，所以P,P,P两两正交．12321a1ana2annn12a22)=(a12anan2n1(a12a22an2),23n0a1a2a1ana12a32an2a2an21210，ana1

6、ana2a12a22an21.an00a1初等行变换0an0a2~00anan10000取xn为自由未知量，并令xnan，设x1a1,x2a2,xn1an1.a1故基础解系为a2P1an当23n0时，a12a1a2a1an初等行变换a1a2ana2a1a22a2an~000A0Eana1ana2an2000a2a2ana100可得基础解系P20,P3a1,,Pn000a1a1a2an综上所述可知原矩阵的特征向量为P1,P2,,Pna2a10an0a16设A为n阶矩阵证明AT与A的特征值相同证明因为

7、ATE

8、

9、(AE)T

10、

11、AE

12、T

13、AE

14、所以AT与A的特征多

15、项式相同从而AT与A的特征值相同7设n阶矩阵A、B满足R(A)R(B)n证明A与B有公共的特征值有公共的特征向量证明设R(A)rR(B)t则rtn若a1a2anr是齐次方程组Ax0的基础解系显然它们是A的对应于特征值0的线性无关的特征向量类似地设b1b2bnt是齐次方程组Bx0的基础解系则它们是B的对应于特征值0的线性无关的特征向量.由于(nr)(nt)n(nrt)n故a1a2anrb1b2bnt必线性相关于是有不全为0的数k1k2knrl1l2lnt使k1a1k2a2knranrl1b1l2b2lnrbnr0记k1a1kaka(lblb2lb)22nrnr1

16、12nrnr则k12nr不全为0否则l