线性代数 课后习题详解 第五章.doc

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1、第五章相似矩阵及二次型1．试用施密特法把下列向量组正交化：(1)　；(2)　解　(1)　根据施密特正交化方法:令，，，故正交化后得:．(2)　根据施密特正交化方法令故正交化后得2．下列矩阵是不是正交阵:(1)　;(2)　．解　　(1)　第一个行向量非单位向量,故不是正交阵．(2)　该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵．3．设与都是阶正交阵，证明也是正交阵．证明因为是阶正交阵，故，故也是正交阵．4．求下列矩阵的特征值和特征向量:(1);(2);(3).并问它们的特征向量是否两两正交?解(1)　①　故的特征值为．②

2、　当时,解方程,由得基础解系所以是对应于的全部特征值向量．当时,解方程,由得基础解系所以是对应于的全部特征向量．③　故不正交．(2)　①　故的特征值为．②　当时，解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量.当时,解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量当时，解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量．③　，，，所以两两正交．(3)　=,当时，取为自由未知量，并令，设.故基础解系为当时，可得基础解系综上所述可知原矩阵的特征向量为5．设方阵与相似，求.解方阵与相似，则与的特征多项式相同，即．6．设都是阶方阵，且，证明与

3、相似．证明则可逆则与相似．7．设3阶方阵的特征值为；对应的特征向量依次为，，求.解根据特征向量的性质知可逆,得:可得得8．设3阶对称矩阵的特征值6，3，3，与特征值6对应的特征向量为,求.解设由，知①3是的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知的秩为1，故利用①可推出秩为1.则存在实的使得②成立．由①②解得．得．9．试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵:(1);　　(2)．解　　(1)　故得特征值为．当时，由解得单位特征向量可取:当时,由解得单位特征向量可取:当时,由　　解得．单位特征向量可取:得正交阵(2)，

4、故得特征值为当时，由解得此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量单位化得当时,由解得单位化:得正交阵．10．(1)　设，求；(2)　设,求．解　　(1)　是实对称矩阵.故可找到正交相似变换矩阵使得从而因此．(2)　同(1)求得正交相似变换矩阵使得．11．用矩阵记号表示下列二次型:(1)　;(2)　(3)　解　(1)　．(2)　．(3)　．12．求一个正交变换将下列二次型化成标准形:(1);(2)．解　(1)　二次型的矩阵为故的特征值为．当时,解方程，由得基础解系.取当时，解方程，由得基础解系取．当时，解方程，由得基础解

5、系取，于是正交变换为且有．(2)二次型矩阵为，故的特征值为当时，可得单位特征向量，当时，可得单位特征向量，当时，可得单位特征向量，．于是正交变换为且有．13．证明：二次型在时的最大值为矩阵的最大特征值.证明为实对称矩阵，则有一正交矩阵，使得成立．其中为的特征值，不妨设最大，为正交矩阵，则且，故则．其中当时，即即．故得证．14．判别下列二次型的正定性：(1);(2)解　(1)　,，，，故为负定．(2)　，，,,．故为正定．15．设为可逆矩阵,,证明为正定二次型．证明　设，，．若“”成立，则成立．即对任意使成立．则线性相关,的秩小于

6、，则不可逆，与题意产生矛盾．于是成立．故为正定二次型．16．设对称矩阵为正定矩阵，证明：存在可逆矩阵，使．证明　　正定，则矩阵满秩，且其特征值全为正．不妨设为其特征值，由定理8知，存在一正交矩阵使又因为正交矩阵，则可逆，．所以．令，可逆,则.