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《线性代数课后习题解答第四章习题详解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章 向量组的线性相关性1．设,求及.解2．设其中,,,求.解由整理得3.已知向量组A:a1=(0,1,2,3)T,a2=(3,0,1,2)T,a3=(2,3,0,1)T;B:b1=(2,1,1,2)T,b2=(0,-2,1,1)T,b3=(4,4,1,3)T,证明B组能由A组线性表示,但A组不能由B组线性表示.证明由知R(A)=R(A,B)=3,所以B组能由A组线性表示.由知R(B)=2.因为R(B)¹R(B,A),所以A组不能由B组线性表示.4.已知向量组45A:a1=(0,1,1)T,a2=
2、(1,1,0)T;B:b1=(-1,0,1)T,b2=(1,2,1)T,b3=(3,2,-1)T,证明A组与B组等价.证明由,知R(B)=R(B,A)=2.显然在A中有二阶非零子式,故R(A)³2,又R(A)£R(B,A)=2,所以R(A)=2,从而R(A)=R(B)=R(A,B).因此A组与B组等价.5.已知R(a1,a2,a3)=2,R(a2,a3,a4)=3,证明(1)a1能由a2,a3线性表示;(2)a4不能由a1,a2,a3线性表示.证明(1)由R(a2,a3,a4)=3知a2,a3,a4
3、线性无关,故a2,a3也线性无关.又由R(a1,a2,a3)=2知a1,a2,a3线性相关,故a1能由a2,a3线性表示.(2)假如a4能由a1,a2,a3线性表示,则因为a1能由a2,a3线性表示,故a4能由a2,a3线性表示,从而a2,a3,a4线性相关,矛盾.因此a4不能由a1,a2,a3线性表示.6.判定下列向量组是线性相关还是线性无关:(1)(-1,3,1)T,(2,1,0)T,(1,4,1)T;(2)(2,3,0)T,(-1,4,0)T,(0,0,2)T.解(1)以所给向量为列向量的矩阵
4、记为A.因为,所以R(A)=2小于向量的个数,从而所给向量组线性相关.45(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B.因为,所以R(B)=3等于向量的个数,从而所给向量组线性相无关.7.问a取什么值时下列向量组线性相关？a1=(a,1,1)T,a2=(1,a,-1)T,a3=(1,-1,a)T.解以所给向量为列向量的矩阵记为A.由知,当a=-1、0、1时,R(A)<3,此时向量组线性相关.8.设a1,a2线性无关,a1+b,a2+b线性相关,求向量b用a1,a2线性表示的表示式.解因为a1+b,a2+b线
5、性相关,故存在不全为零的数l1,l2使l1(a1+b)+l2(a2+b)=0,由此得,设,则b=ca1-(1+c)a2,cÎR.9.设a1,a2线性相关,b1,b2也线性相关,问a1+b1,a2+b2是否一定线性相关？试举例说明之.解不一定.例如,当a1=(1,2)T,a2=(2,4)T,b1=(-1,-1)T,b2=(0,0)T时,有45a1+b1=(1,2)T+b1=(0,1)T,a2+b2=(2,4)T+(0,0)T=(2,4)T,而a1+b1,a2+b2的对应分量不成比例,是线性无关的.10
6、．举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组是线性相关的,则可由线性表示.(2)若有不全为0的数使成立,则线性相关,亦线性相关.(3)若只有当全为0时,等式才能成立,则线性无关,亦线性无关.(4)若线性相关,亦线性相关,则有不全为0的数,使同时成立.解(1)设,满足线性相关,但不能由线性表示.(2)有不全为零的数使原式可化为取.其中为单位向量,则上式成立,而,均线性相关.(3)由(仅当)线性无关取,取为线性无关组.满足以上条件,但不能说是线性无关的.(4)与题设矛盾.11．设,证明向量组线性相关.证
7、明设有使得则(1)若线性相关,则存在不全为零的数,;;;;由不全为零,知不全为零,即线性相关.(2)若线性无关,则45由知此齐次方程存在非零解.则线性相关.综合得证.12．设,且向量组线性无关,证明向量组线性无关.证明设则因向量组线性无关,故因为故方程组只有零解.则.所以线性无关13．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1) ,,;(2) ,,.解 (1) 线性相关.由秩为2,一组最大线性无关组为.(2)秩为2,最大线性无关组为.14．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把其余
8、列向量用最大无关组线性表示:(1);(2).45解(1)所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)，所以第1、2、3列构成一个最大无关组．15.设向量组(a,3,1)T,(2,b,3)T,(1,2,1)T,(2,3,1)T的秩为2,求a,b.解设a1=(a,3,1)T,a2=(2,b,3)T,a3=(1,2,1)T,a4=(2,3,1)T.因为,而R(a1,a2,a3,a4)=2,所以a=2,b=5.16．设是一组维向量,已知维单位坐标向量能由它们线性表示,证明线性
