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《高数线性代数习题解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题1.11．设,,求.解:,.2．已知两个线性变换求从到的线性变换.解:,所求为3．计算下列矩阵:(1);解:,,,…………,.(2);-49-解:,,…………,.(3).解:,.假设成立,则.因此.4．设,求和.解:,.-49-5．求与可交换的所有矩阵.解:若矩阵与可交换,即,则为2阶方阵.设,则,.由得,解得.因此,其中为任意数.6．设,求.解:将矩阵写成,其中.对于矩阵有,,.显然与可交换,所以.7．矩阵称为反对称的,若.证明任何方阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和.证明:记,,则为对称阵,而
2、为反对称阵,且有.8．设为阶对称阵,证明为对称阵的充要条件是.证明:因为对称阵,所以,,于是.-49-因此,的充要条件是.也就是说,为对称阵的充要条件是.9．举反例说明下列命题是错误的:(1)若,则;(2)若,则或;(3)若,且,则.解:(1)对于矩阵,有,但.(2)对于矩阵,有,但且.(3)对于矩阵,,,有,且,但.习题1.21．求行列式中元素和的代数余子式.解:元素的代数余子式为,而元素的代数余子式为.2．计算下列行列式:(1);解:原式.(2).解:原式.3．已知四阶行列式中第三列元素依次为,它们的余子式依
3、次分别为,求的值.解:.4．已知,求.-49-解:,.5．已知三阶矩阵的行列式,,求.解:.6．设,,且已知,试求.解:.7．计算下列行列式:(1);解:原式.(2);解:原式.(3);-49-解:原式.(4).解:原式.8．解下列方程:(1);解:,原方程的解为.(2).解:,原方程的解为.9．计算下列行列式:(1);-49-解:将原行列式的第一行加于其余各行,得.(2);解:将原行列式的第1列加于第2列,第2列加于第3列,…,第列加于第列,得.(3).解:原行列式按第1列展开,得.10．证明:(1),其中;-
4、49-证明:左边行列式的第列提取,得.(2);证明:按最后一列展开,得,,.假设时,成立,则当时,有.由归纳原理即得所证.(3).证明:左边行列式,其中-49-,于是.习题1.31．已知,,求.解:.2．已知是三阶方阵,且,求,和.解:,,.3．求线性变换的逆变换.解:线性变换的系数矩阵,其伴随矩阵为.将按第1行展开,得,因此可逆,且有.-49-所求逆变换为4．利用逆矩阵求以下方程的解:(1);解:记矩阵,其伴随矩阵.将按第1行展开,得,因此可逆,且有.所求解为.(2).解:记矩阵,其伴随矩阵.将按第1行展开,得
5、,因此可逆,且有.-49-所求解为.5．设,求.解:.6．已知,且,求.解:由,得,.因为,所以存在,于是.7．设,求伴随矩阵的逆矩阵.解:.8．设,其中,,求.解:容易求得.于是由得,,…,.-49-9．设,且,求.解:由,得.,,,因此可逆,且有.由,得.10．设,证明.证明:由,得,因此.11．设方阵满足方程,证明可逆,并求其逆矩阵.证明:由,得,因此可逆,且有.12．设为可逆矩阵,与同阶,且满足,证明和均为可逆矩阵.证明:因为可逆矩阵,故.由,得,两边取行列式,得,(为与的阶数).于是,,所以和均为可逆矩
6、阵.习题1.41．设,求和.解:令,,则,,-49-,,.所以,.2．设,求.解:令,,则,,,,,.因此.3．设为阶可逆方阵,为阶方阵,为矩阵,为矩阵.计算,并由此证明.解:.上式两边取行列式得.由,,,即得所证.-49-习题2.11．把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1);解:.(2).解:.2．用消元法解下列线性方程组:(1)解:对方程组的系数矩阵施行初等行变换:,于是得同解方程组令自由未知元,得原方程组的通解为,(为任意数).-49-(2)解:对方程组的系数矩阵施行初等行变换:,于是得同解方程组令自由未知元,
7、得原方程组的通解为,(为任意数).(3)解:对方程组的增广矩阵施行初等行变换:.原方程组的解为.(4)解:对方程组的增广矩阵施行初等行变换:-49-.最后的增广矩阵对应的方程组中,第四个方程为,不可能.因此,原方程组无解.(5)解:对方程组的增广矩阵施行初等行变换:.于是得同解方程组令自由未知元,得原方程组的通解为,(为任意数).(6)解:对方程组的增广矩阵施行初等行变换:.于是得同解方程组令自由未知元,得原方程组的通解为,(为任意数).-49-习题2.21．用矩阵的初等行变换,求下列矩阵的逆阵:(1);解:,.
8、(2);解:,.-49-(3).解:,.2．用矩阵的初等行变换,求下列方程的解:(1);解:,.(2).解:-49-,.3．设,,求解.解:,,.4．设,,,求解.解:,.,.5．设为阶可逆矩阵,为阶可逆矩阵,求的逆矩阵.-49-解:,因此.6．设为阶可逆矩阵,为阶可逆矩阵,求的逆矩阵.解:,因此.7．设为阶矩阵,且可逆,,证明.证明:由Schur公式知.8．设分别为和矩
