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1、第七章微分方程的解1求曲线族满足的微分方程，其中为任意常数.解在等式两端对求导,得再从解出代入上式得化简即得到所求的微分方程2验证函数(C为任意常数)是方程的通解,并求满足初始条件的特解.解.将函数求一阶导数,得把和代入方程左边得因方程两边恒等,且中含有一个任意常数,故是题设方程的通解.将初始条件代入通解中，得即从而所求特解为可分离变量的微分方程1求微分方程的通解.解分离变量得两端积分得从而,记则得到题设方程的通解2求微分方程的通解.解先合并及的各项,得设分离变量得两端积分得于是记则得到题设方程的通解注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中,我们在假定的前提下,用它除方程两边,这样得
2、到的通解,不包含使的特解.但是,有时如果我们扩大任意常数C的取值范围,则其失去的解仍包含在通解中.如在例2中，我们得到的通解中应该，但这样方程就失去特解，而如果允许，则仍包含在通解中..齐次方程1求解微分方程满足初始条件的特解.解题设方程为齐次方程,设则代入原方程得分离变量得两边积分得将回代，则得到题设方程的通解为利用初始条件得到从而所求题设方程的特解为2求解微分方程解原方程变形为（齐次方程）令则故原方程变为即分离变量得两边积分得或回代便得所给方程的通解为一阶线性微分方程1求下列微分方程满足所给初始条件的特解.解将方程标准化为于是由初始条件得故所求特解为＊2求解方程是的已知函数.解原方程实际
3、上是标准的线性方程，其中直接代入通解公式，得通解伯努利方程1求的通解.解两端除以得令得解得故所求通解为2（E03）求方程的通解.解以除方程的两端,得即令则上述方程变为解此线性微分方程得以代得所求通解为全微分方程1(E01)求方程的通解.解原方程是全微分方程,原方程的通解为2求解解这里，所以题设方程是全微分方程.可取由全微分求积公式得:于是，方程的通解为3（E02）求方程的通解.解原方程是全微分方程,将左端重新组合原方程的通解为型1求方程的通解.解设代入题设方程,得解线性方程,得为任意常数)，即两端积分,得再积分得到所求题设方程的通解为其中为任意常数.进一步通解可改写为其中为任意常数.型2(E
4、02)求方程的通解.解这是一个不显含有未知函数的方程.令则于是题设方程降阶为即两边积分,得即或再积分得原方程的通解3求微分方程满足且当时，有界的特解.解法1所给方程不显含属型,令则代入方程降阶后求解,此法留给读者练习.解法2因为即这是一阶线性微分方程，解得因为时，有界,得故由此得及又由已知条件得从而所求特解为型4（E03）求方程的通解.解设则代入原方程得即由可得所以原方程通解为5已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：（1）求此方程的通解；（2）写出此微分方程；（3）求此微分方程满足的特解.解(1)由题设知,是相应齐次线方程的两个线性无关的解,且是非齐次线性方程的一个特解，故所求方程的通解
5、为，其中(2)因①所以②从这两个式子中消去即所求方程为(3)在①,②代入初始条件得从而所求特解为二阶常系数齐次线性微分方程及其解法1求下列微分方程的通解.(1)(2)解特征方程为即特征根通解为(2)特征方程为即特征根通解为2（E05)已知一个四阶常系数齐次线性微分方程的四个线性无关的特解为求这个四阶微分方程及其通解.解由与可知，它们对应的特征根为二重根由与可知，它们对应的特征根为一对共轭复根所以特征方程为即它所对应的微分方程为其通解为型1(E02)求方程的一个特解.解题设方程右端的自由项为型，其中对应的齐次方程的特征方程为特征根为由于不是特征方程的根，所以就设特解为把它代入题设方程,得比较系
6、数得解得于是，所求特解为2(E03)求方程的通解.解题设方程对应的齐次方程的特征方程为特征根为于是，该齐次方程的通解为因是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：代入题设方程,得比较等式两端同次幂的系数,得于是，求得题没方程的一个特解从而，所求题设方程的通解为3求方程的通解.解对应的齐次方程的特征方程为特征根所求齐次方程的通解由于不是特征方程的根，因此方程的特解形式可设为代入题设方程易解得故所求方程的通解为或型4求方程的通解.解对应齐次方程的特征方程的特征根为故对应齐次方程的通解作辅助方程是单根,故设代入上式得取虚部得所求非齐次方程特解为从而题设方程的通解为5(E04)求方程的通解.解对应齐次
7、方程的特征方程的特征根为故对应齐次方程的通解作辅助方程不是特征方程的根，故设代入辅助方程得取实部得到所求非齐次方程的一个特解:所求非齐次方程的通解为6(E01)求欧拉方程的通解.解作变量替换或则题设方程化为即两次积分，可求得其通解为代回原来变量，得原方程的通解7(E02)求欧拉方程的通解.解作变量变换或原方程化为即或(1)方程(1)所对应的齐次方程的特征方程求得特征根故所以齐次方程的通解设特解代入原方程得即故
