高数二重积分习题解答.doc

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1、......第9章重积分及其应用1．用二重积分表示下列立体的体积：(1)上半球体：；(2)由抛物面，柱面x2+y2=1及xOy平面所围成的空间立体解答：(1)；(2)所属章节：第九章第一节难度：一级2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：(1)，其中D为；(2)，其中D为解答：(1)；(2)所属章节：第九章第一节难度：一级3．一带电薄板位于xOy平面上，占有闭区域D，薄板上电荷分布的面密度为，且在D上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q．解答：.学习参考.......所属章节：第九章第一节难度：一级4．将

2、一平面薄板铅直浸没于水中，取x轴铅直向下，y轴位于水平面上，并设薄板占有xOy平面上的闭区域D，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力解答：所属章节：第九章第一节难度：一级5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小(1)与，其中D是由x轴，y轴及直线x+y=1所围成的区域；(2)与，其中D是矩形区域：0≤x≤1，0≤y≤1；(3)与，其中D是任一平面有界闭区域；(4)与，其中D是矩形区域：–1≤x≤0，0≤y≤1；解答：(1)在区域D内部，，所以I1>I2；(2)在区域D内部，，故，所以I1>I2；？(3)

3、由于，所以I1I2所属章节：第九章第一节难度：一级.学习参考.......6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值(1)；(2)；(3)；(4)解答：(1)由于的面积为32，在其中，而等号不恒成立，故；(2)由于的面积为，在其中，而等号不恒成立，故；(3)由于的面积为，在其中，而等号不恒成立，故；注：原题有误？还是原参考答案有误？如将改为，则区域面积为200，结论为(4)由于的面积为，在其中，而等号不恒成立，故．所属章节：第九章第一节难度：二级.学习参考.......7

4、．设f(x，y)是连续函数，试求极限：解答：先用积分中值定理，再利用函数的连续性，即得．所属章节：第九章第一节难度：二级8．设f(x，y)在有界闭区域D上非负连续，证明：(1)若f(x，y)不恒为零，则；(2)若，则f(x，y)≡0解答：(1)若f(x，y)不恒为零，则存在，，利用连续函数的保号性，存在的一个邻域，在其上恒有，于是，而，所以；(2)假若f(x，y)不恒为零，则由上题知，矛盾，故f(x，y)≡0．所属章节：第九章第一节难度：二级9．计算下列二重积分：(1)；.学习参考.......(2)；(3)；(4

5、)；(5)解答：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．所属章节：第九章第二节难度：一级10．画出下列各题中给出的区域D，并将二重积分化为两种次序不同的二次积分：(1)D由曲线y=lnx，直线x=2及轴所围成；(2)D由抛物线y=x2与直线2x+y=3所围成；(3)D由y=0及y=sinx(0≤x≤π)所围成；(4)D由曲线y=x3，y=x所围成；(5)D由直线y=0，y=1，y=x，y=x–2所围成解答：本题图略，建议画出.学习参考.......(1)；(2)；(3)；(4)；注：原题有误？还是原参考答案有误？如

6、将“D由曲线y=x3，y=x所围成”改为“D由曲线所围成”，则答案为原参考答案；(5)所属章节：第九章第二节难度：一级11．计算下列二重积分：(1)，D由曲线x=2，y=x，xy=1所围成；(2)，D由点(0，0)，(π，0)，(π，π)为顶点的三角形区域；(3)，D由抛物线和y=x2围成；(4)，D由抛物线y2=x与直线y=x–2所围成；(5)，D由直线y=x，y=2和曲线x=y3所围成解答：(1)；(2)；.学习参考.......(3)；(4)；(5)．所属章节：第九章第二节难度：二级12．画出下列各题中的积分

7、区域，并交换积分次序(假定f(x，y)在积分区域上连续)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)(6)解答：本题图略，建议画出(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)所属章节：第九章第二节.学习参考.......难度：一级13．计算下列二次积分：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)解答：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．所属章节：第九章第二节难度：二级.学习参考.......14．利用积分区域的对称性和被积函数关于x或y的奇偶性，计算下列二重积分：(1)；(2)；(3)；(4)解答：(

8、1)设，则；(2)；(3)由于积分区域关于对称，被积函数是关于y的奇函数，故；(4)设，则．所属章节：第九章第二节难度：二级15．利用极坐标化二重积分为二次积分，其中积分区域D为：(1)；(2)；(3)；(4)(5).学习参考.......解答：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)所属章节：第九章第二节难度：一级16．利用极坐标计算下列二重积分：(1)；(