高数二重积分习的题目解答

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时间:2018-12-27

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1、实用标准文案第9章重积分及其应用1.用二重积分表示下列立体的体积:(1)上半球体:;(2)由抛物面,柱面x2+y2=1及xOy平面所围成的空间立体解答:(1);(2)所属章节:第九章第一节难度:一级2.根据二重积分的几何意义,确定下列积分的值:(1),其中D为;(2),其中D为解答:(1);(2)所属章节:第九章第一节难度:一级3.一带电薄板位于xOy平面上,占有闭区域D,薄板上电荷分布的面密度为,且在D上连续,试用二重积分表示该板上的全部电荷Q.解答:所属章节:第九章第一节难度:一级4.将一平面薄板铅直浸没于水中,取x轴铅直向下,y轴位于水平面上,并设薄板

2、占有xOy平面上的闭区域D,试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力解答:所属章节:第九章第一节难度:一级精彩文档实用标准文案5.利用二重积分性质,比较下列各组二重积分的大小(1)与,其中D是由x轴,y轴及直线x+y=1所围成的区域;(2)与,其中D是矩形区域:0≤x≤1,0≤y≤1;(3)与,其中D是任一平面有界闭区域;(4)与,其中D是矩形区域:–1≤x≤0,0≤y≤1;解答:(1)在区域D内部,,所以I1>I2;(2)在区域D内部,,故,所以I1>I2;?(3)由于,所以I1I2所属章节:第九章第一节难度:一

3、级6.利用二重积分性质,估计下列二重积分的值(1);(2);(3);(4)解答:(1)由于的面积为32,在其中,而等号不恒成立,故;(2)由于的面积为,在其中,而等号不恒成立,故;精彩文档实用标准文案(3)由于的面积为,在其中,而等号不恒成立,故;注:原题有误?还是原参考答案有误?如将改为,则区域面积为200,结论为(4)由于的面积为,在其中,而等号不恒成立,故.所属章节:第九章第一节难度:二级7.设f(x,y)是连续函数,试求极限:解答:先用积分中值定理,再利用函数的连续性,即得.所属章节:第九章第一节难度:二级8.设f(x,y)在有界闭区域D上非负连续,

4、证明:(1)若f(x,y)不恒为零,则;(2)若,则f(x,y)≡0解答:(1)若f(x,y)不恒为零,则存在,,利用连续函数的保号性,存在的一个邻域,在其上恒有,于是,而,所以;(2)假若f(x,y)不恒为零,则由上题知,矛盾,故f(x,y)≡0.所属章节:第九章第一节难度:二级精彩文档实用标准文案9.计算下列二重积分:(1);(2);(3);(4);(5)解答:(1);(2);(3);(4);(5).所属章节:第九章第二节难度:一级10.画出下列各题中给出的区域D,并将二重积分化为两种次序不同的二次积分:(1)D由曲线y=lnx,直线x=2及轴所围成;(

5、2)D由抛物线y=x2与直线2x+y=3所围成;(3)D由y=0及y=sinx(0≤x≤π)所围成;(4)D由曲线y=x3,y=x所围成;(5)D由直线y=0,y=1,y=x,y=x–2所围成解答:本题图略,建议画出(1);(2);精彩文档实用标准文案(3);(4);注:原题有误?还是原参考答案有误?如将“D由曲线y=x3,y=x所围成”改为“D由曲线所围成”,则答案为原参考答案;(5)所属章节:第九章第二节难度:一级11.计算下列二重积分:(1),D由曲线x=2,y=x,xy=1所围成;(2),D由点(0,0),(π,0),(π,π)为顶点的三角形区域;(

6、3),D由抛物线和y=x2围成;(4),D由抛物线y2=x与直线y=x–2所围成;(5),D由直线y=x,y=2和曲线x=y3所围成解答:(1);(2);(3);(4);(5).所属章节:第九章第二节难度:二级精彩文档实用标准文案12.画出下列各题中的积分区域,并交换积分次序(假定f(x,y)在积分区域上连续):(1);(2);(3);(4);(5)(6)解答:本题图略,建议画出(1);(2);(3);(4);(5);(6)所属章节:第九章第二节难度:一级13.计算下列二次积分:(1);(2);(3);(4);(5);精彩文档实用标准文案(6)解答:(1);

7、(2);(3);(4);(5);(6).所属章节:第九章第二节难度:二级14.利用积分区域的对称性和被积函数关于x或y的奇偶性,计算下列二重积分:(1);(2);(3);(4)解答:(1)设,则;(2);(3)由于积分区域关于对称,被积函数是关于y的奇函数,故;精彩文档实用标准文案(4)设,则.所属章节:第九章第二节难度:二级15.利用极坐标化二重积分为二次积分,其中积分区域D为:(1);(2);(3);(4)(5)解答:(1);(2);(3);(4);(5)所属章节:第九章第二节难度:一级16.利用极坐标计算下列二重积分:(1);(2);(3);精彩文档实

8、用标准文案(4);(5)(6),D:第一象限中由圆及

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